\def\NomChapitre{Semaine du lundi 30 janvier au vendredi 3 février}
\def\Type{Programme de colle 17}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item Liberté des familles orthogonales de vecteurs non nuls  
\item Distance d'un point à un \sev{} (avec preuve).
\item Un projecteur $p$ est un projecteur orthogonal \ssi{} 
$\forall x \in E \; \norme{p(x)}\leq \norme{x}$ (avec preuve).
\item Si $u\in \cL(E)$, $u$ est une symétrie orthogonale \ssi{} $u$ est une
  symétrie et un endomorphisme orthogonal (avec preuve).
\item Plan d'étude d'une matrice $3\times 3$ orthogonale.
\item Les sous-espaces propres d'une matrice symétrique sont deux à deux
  orthogonaux. 
\end{qc}

\section{Algèbre bilinéaire}
\subsection{Préhilbertiens}
Définition d'un produit scalaire, norme associée, propriétés de la norme.

Inégalité de Cauchy-Schwarz, identité du parallélogramme et de polarisation.

Orthogonalité : vecteurs orthogonaux, famille orthogonale. Orthogonal d'un
sous-espace. 

Théorème de Pythagore.


\subsection{Euclidiens}
Existence de bases orthonormales ; méthode de Gram-Schmidt.

Calculs dans une base orthonormale : produit scalaire, norme, matrice d'un
endomorphisme.

Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ; sommes directes
associées.

Distance à un sous-espace de dimension finie.
Inégalité de Bessel.

\subsection{Isométries}
Définition et valeurs propres d'une isométrie. 
Groupe $\cO(E)$. 
L'orthogonal d'un sous-espace stable est stable.
Une symétrie est un endomorphisme orthogonal \ssi{} c'est un endomorphisme
orthogonal. 

Définition et déterminant d'une matrice orthogonale. Groupes $\cO_n(\R)$ et
$SO_n(\R)$. 

Description dans le cas des dimensions $2$ et $3$, études pratiques. En
particulier détermination de l'axe et de l'angle d'une rotation de $\R^3$.
Orientation, bases directes et indirectes.



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