\def\NomChapitre{Semaine du lundi 23 au vendredi 27 janvier}
\def\Type{Programme de colle 16}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item Sur $E=\R[X]$, $\phi:(P,Q) \mapsto \int_0^{+\infty} P(t)Q(t)e^{-t}\dt$
  est un produit scalaire. 
\item Sur $E=\cM_n(\R)$, $\phi : (A,B) \mapsto \tr({}^tAB)$ est un produit
  scalaire. 
\item Liberté des familles orthogonales de vecteurs non nuls  
\item Distance d'un point à un \sev{} (avec preuve).
\item Un projecteur $p$ est un projecteur orthogonal \ssi{} 
$\forall x \in E \; \norme{p(x)}\leq \norme{x}$.
% \item Si $u\in \cL(E)$, $u$ est une symétrie orthogonale \ssi{} $u$ est une
%   symétrie et un endomorphisme orthogonal.
% L'orthogonal d'un sous-espace stable est stable.
% O(E) est un groupe.
\end{qc}

\section{Courbes}
\subsection{Définition, \'Etude locale générale}
Paramétrage, demi-tangente et tangente. Cas d'un point régulier. 
\'Equation de la tangente en un point régulier (cartésienne dans le cas plan,
et paramétrique). %QC

\subsection{Courbes planes}
\subsubsection{\'Etude locale}
Point singulier, définition de la tangente dans le cas singulier. 
Point de rebroussement, point d'inflexion.

Position d'une courbe plane par rapport à la tangente (par rapport à une
droite $\cD$ passant par $M_0$), allure de la courbe
selon $p$ et $q$. 

\subsubsection{Branches infinies}
Asymptote, branche parabolique, utilisation des développements asymptotiques.
\subsubsection{Plan d'étude d'une courbe plane}
Réduction du domaine d'étude, variations de $x$ et $y$, étude des branches
infinies (position relative), des points
singuliers. 
Tracé : placement des asymptotes, des tangentes aux points remarquable, tracé
de la courbe.

\subsection{\'Etude métrique des courbes}

Longueur d'une courbe, abscisse curviligne, repère de Frenet, courbure, rayon
de courbure, centre de courbure.
Cercle de courbure.

\subsection{Enveloppes}

Enveloppe d'une famille de droites. Développées.

\section{Algèbre bilinéaire}
\subsection{Préhilbertiens}
Définition d'un produit scalaire, norme associée, propriétés de la norme.

Inégalité de Cauchy-Schwarz, identité du parallélogramme et de polarisation.

Orthogonalité : vecteurs orthogonaux, famille orthogonale. Orthogonal d'un
sous-espace. 

Théorème de Pythagore.


\subsection{Euclidiens}
Existence de bases orthonormales ; méthode de Gram-Schmidt.

Calculs dans une base orthonormale : produit scalaire, norme, matrice d'un
endomorphisme.

Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ; sommes directes
associées.

Distance à un sous-espace de dimension finie.
Inégalité de Bessel.


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