\def\NomChapitre{Semaine du lundi 16 au vendredi 20 janvier}
\def\Type{Programme de colle 15}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
% \item Exemple de produits scalaires sur les espaces de fonctions, de polynômes ou de
% matrices, avec preuve.
\item Sur $E=\R[X]$, $\phi:(P,Q) \mapsto \int_0^{+\infty} P(t)Q(t)e^{-t}\dt$
  est un produit scalaire. 
\item Sur $E=\cM_n(\R)$, $\phi : (A,B) \mapsto \tr(A^TB)$ est un produit
  scalaire. 
\item Plan d'étude d'une branche infinie.
\item Formules de Frenet : définition de $\vect{T}$, de $\vect N$, de
  $\alpha$. Formules liant $\frac{\dd\vect T}{\dt}$ et $\gamma(t)$ (avec
  preuve).
\end{qc}

\section{Courbes}
\subsection{Définition, \'Etude locale générale}
Paramétrage, demi-tangente et tangente. Cas d'un point régulier. 
\'Equation de la tangente en un point régulier (cartésienne dans le cas plan,
et paramétrique). %QC

\subsection{Courbes planes}
\subsubsection{\'Etude locale}
Point singulier, définition de la tangente dans le cas singulier. 
Point de rebroussement, point d'inflexion.

Position d'une courbe plane par rapport à la tangente (par rapport à une
droite $\cD$ passant par $M_0$), allure de la courbe
selon $p$ et $q$. 

\subsubsection{Branches infinies}
Asymptote, branche parabolique, utilisation des développements asymptotiques.
\subsubsection{Plan d'étude d'une courbe plane}
Réduction du domaine d'étude, variations de $x$ et $y$, étude des branches
infinies (position relative), des points
singuliers. 
Tracé : placement des asymptotes, des tangentes aux points remarquable, tracé
de la courbe.

\subsection{\'Etude métrique des courbes}

Longueur d'une courbe, abscisse curviligne, repère de Frenet, courbure, rayon
de courbure, centre de courbure.
Cercle de courbure.

\subsection{Enveloppes}

Enveloppe d'une famille de droites. Développées.


%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-PDF-mode: t
%%% TeX-master: FeuilleProg15
%%% End:
