\def\NomChapitre{Semaine du mardi 3 au vendredi 13 janvier}
\def\Type{Programme de colle 14}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item Méthode pour déterminer l'équation de la tangente en un point régulier
(équation paramétrique; et équation cartésienne dans le cas plan $m=2$)
\item \'Etude locale d'une courbe plane : les quatre situations possibles,
  selon la parité de $p$ et $q$ (avec $4$ dessins). 
Définition de $p$ et $q$ (sans preuves).
\item Plan d'étude d'une branche infinie.
\item Formules de Frenet : définition de $\vect{T}$, de $\vect N$, de
  $\alpha$. Formules liant $\frac{\dd\vect T}{\dt}$ et $\gamma(t)$ (avec
  preuve).
\end{qc}

\section{Fonctions d'une variable réelle à valeurs dans $\R^m$
\small{($m=2$ ou $3$)}}
\subsection{Topologie et continuité}
Norme et distance euclidienne dans $\R^m$ . Définitions des
boules, des ouverts, des fermés, des parties
bornées.

Définition d'un point intérieur, d'un point adhérent, d'un point
extérieur. Définition de la frontière.

\subsection{Fonctions d'une variable réelle à valeur dans $\R^m$}

Limite, Continuité, caractérisation à l'aide des fonctions coordonnées.

Dérivation : définition, caractérisation avec des coordonnées.
Formules de Leibniz pour $\phi .f$, $<\! f|g\! >$, et $f \wedge g$.

Formule de Taylor.
\section{Courbes}
\subsection{Définition, \'Etude locale générale}
Paramétrage, demi-tangente et tangente. Cas d'un point régulier. 
\'Equation de la tangente en un point régulier (cartésienne dans le cas plan,
et paramétrique). %QC

\subsection{Courbes planes}
\subsubsection{\'Etude locale}
Point singulier, définition de la tangente dans le cas singulier. 
Point de rebroussement, point d'inflexion.

Position d'une courbe plane par rapport à la tangente (par rapport à une
droite $\cD$ passant par $M_0$), allure de la courbe
selon $p$ et $q$. 

\subsubsection{Branches infinies}
Asymptote, branche parabolique, utilisation des développements asymptotiques.
\subsubsection{Plan d'étude d'une courbe plane}
Réduction du domaine d'étude, variations de $x$ et $y$, étude des branches
infinies (position relative), des points
singuliers. 
Tracé : placement des asymptotes, des tangentes aux points remarquable, tracé
de la courbe.

\subsection{\'Etude métrique des courbes}

Longueur d'une courbe, abscisse curviligne, repère de Frenet, courbure, rayon
de courbure, centre de courbure.
Cercle de courbure.

\subsection{Enveloppes}

Enveloppe d'une famille de droites. Développées.

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-PDF-mode: t
%%% TeX-master: FeuilleProg14
%%% End:
