\def\NomChapitre{Semaine du lundi 5 au vendredi 9 décembre}
\def\Type{Programme de colle 12}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item Si $u \in \cL(E)$ et $P\in \K[X]$, $ \lambda \in \Sp(u) \Longrightarrow
  P(\lambda) \in \Sp(P(u))$.
\item Si $A$ et $B$ sont semblables, alors $\chi_A=\chi_B$.  $\tr(A)$ est
  somme des valeurs propres (même complexes) de $A$ avec multiplicité.
\item Suites récurrentes d'ordre $p$ : comment se ramener à une suite
  récurrente d'ordre $1$ dans $\K^p$. Solutions lorsque $A$ possède $p$
  valeurs propres distinctes (sans preuve).
\item Énoncer les CNS pour qu'un endomorphisme $u\in\cL(E)$ soit
  diagonalisable.
\end{qc}

\section{Réduction}
\subsection{Cas général}
Valeurs propres et spectre. Vecteurs propres et Sous-espaces propres. 

Une somme finie de sous-espaces propres associés à des
valeurs propres distinctes est directe.
% Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est
% libre. 

Si $P$ annule $u$, alors toute valeur propre de $u$ est racine de $P$.

Cas des projections, des symétries et des endomorphismes nilpotents.
\subsection{Dimension finie}

Polynôme caractéristique, encadrement de la dimension d'un sous-espace propre.
% (preuve exigible).

CNS de diagonalisation (3 propositions). 

CS de diagonalisation : cas de $u\in \cL(E)$ ayant $n = \dim E$ valeurs
propres distinctes. 

CNS de trigonalisation. Cas complexe.

Si $u \in \cL(E)$, $E$ sur $\R$ ou $\C$, la trace est la
somme des valeurs propres (y compris les valeurs propres complexes), et le
déterminant le produit des valeurs propres (idem).


\subsection{Applications de la réduction}
 Calcul des puissances d'une matrice, d'une racine carré, d'un commutant.

 Suites récurrentes linéaires dans $\R^n$.  
Suites récurrentes linéaires d'ordre $2$ (étude complète), d'ordre $p$
(structure des solutions, savoir se ramener à de l'ordre $1$), 
systèmes d'équations différentielles linéaire d'ordre $1$.



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