\def\NomChapitre{Semaine du lundi 28 novembre au vendredi 2 décembre}
\def\Type{Programme de colle 11}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item $\det \begin{pmatrix}
1&2&\cdots &n\\
2&2& & \vdots\\
\vdots & &\ddots &\vdots\\
n&\cdots&\cdots &n\\
\end{pmatrix}$.
Pour tout $A,B \in \cM_n(\K)$, $\tr(AB)=\tr(BA)$.  
% \item Soit $E=E_1\oplus E_2$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie, et
%   $\dim E_1=p$, $\dim E_2=q$. Alors $u\in\cL(E)$ laisse stable $E_1$ et $E_2$
%   \ssi{} il existe une base $\cB$ de $E$ telle que $\mat(u,\cB) =
%   \left(\begin{array}{c|c} M_1 &0 \\\hline 0&M_2 \end{array}\right)$ avec$
%   M_1\in\cM_{p}(\K)$ et $M_2\in\cM_{q}(\K)$. $\vphantom{\frac1{\frac1{2}}}$
\item Soit $A\in \cM_n(\R)$ et $f$ définie par $f(M)=-M+\tr(M) A$. Montrer que
  $f$ est un endomorphisme, et selon la valeur de $\tr A$, déterminer $\ker f$
  et $\im f$.
\item Si $u \in \cL(E)$ et $P\in \K[X]$, $ \lambda \in \Sp(u) \Longrightarrow
  P(\lambda) \in \Sp(P(u))$.
\item Si $A$ et $B$ sont semblables, alors $\chi_A=\chi_B$.  

$\tr(A)$ est somme des valeurs propres (même complexes) de $A$ avec multiplicité.
\end{qc}

\section{Déterminants}

\subsection{d'une matrice}
Déterminant d'une matrice, d'un produit de matrice, d'une transposée.

Calculs : opérations sur les colonnes et sur les lignes, déterminant d'une
matrice triangulaire blocs, d'une matrice triangulaire. Développement par
rapport à une colonne ou une ligne.
\subsection{d'un endomorphisme}
Déterminant d'un endomorphisme $u$, de $u \circ v$, de $u$ automorphisme.
\subsection{de $n$ vecteurs}
Déterminant de $n$ vecteurs d'un espace de dimension $n$ dans une
base. Caractérisation des bases. 

\section{Réduction}
\subsection{Cas général}
Valeurs propres et spectre. Vecteurs propres et Sous-espaces propres. 

Une somme finie de sous-espaces propres associés à des
valeurs propres distinctes est directe.
% Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est
% libre. 

Si $P$ annule $u$, alors toute valeur propre de $u$ est racine de $P$.

Cas des projections, des symétries et des endomorphismes nilpotents.
\subsection{Dimension finie}

Polynôme caractéristique, encadrement de la dimension d'un sous-espace propre.
% (preuve exigible).

CNS de diagonalisation (3 propositions). 

CS de diagonalisation : cas de $u\in \cL(E)$ ayant $n = \dim E$ valeurs
propres distinctes. 

CNS de trigonalisation. Cas complexe.

Si $u \in \cL(E)$, $E$ sur $\R$ ou $\C$, la trace est la
somme des valeurs propres (y compris les valeurs propres complexes), et le
déterminant le produit des valeurs propres (idem).

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