\def\NomChapitre{Semaine du lundi 21 au vendredi 25 novembre}
\def\Type{Programme de colle 10}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item Centre de $\cL(E)$ : Les endomorphismes $f$ qui commutent à tout
  endomorphisme sont les homothéties. 
\item Soit $\vphantom{\frac{\frac12}2}f\in \cL(E)$, $x \in E$ et $n \in \N^*$ 
tels que $f^{n-1}(x) \neq 0$ et $f^n(x)=0$. 

Montrer que $(x,f(x),\dots,f^{n-1}(x))$ libre. 
\item Soit $A\in \cM_n(\R)$ et $f$ définie par $f(M)=-M+\tr(M) A$. Montrer que
  $f$ est un endomorphisme, et
selon la valeur de $\tr A$, déterminer $\ker f$
  et $\im f$.
\item $\det \begin{pmatrix}
1&2&\cdots &n\\
2&2& & \vdots\\
\vdots & &\ddots &\vdots\\
n&\cdots&\cdots &n\\
\end{pmatrix}$.
Pour tout $A,B \in \cM_n(\K)$, $\tr(AB)=\tr(BA)$.  
% \item Soit $E=E_1\oplus E_2$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie, et
%   $\dim E_1=p$, $\dim E_2=q$. Alors $u\in\cL(E)$ laisse stable $E_1$ et $E_2$
%   \ssi{} il existe une base $\cB$ de $E$ telle que $\mat(u,\cB) =
%   \left(\begin{array}{c|c} M_1 &0 \\\hline 0&M_2 \end{array}\right)$ avec$
%   M_1\in\cM_{p}(\K)$ et $M_2\in\cM_{q}(\K)$. $\vphantom{\frac1{\frac1{2}}}$

%\item%  Interpolation de Lagrange : Pour tout $(a_i)\in \R^{n+1}$ deux
  % à deux 
  % distincts et tout $(b_i)\in \R^{n+1}$, il existe un unique $P\in\R_n[X]$
  % tel que $P(a_i)=b_i$ $\forall i$ (avec preuve). Expression de $P$ (sans
  % preuve). 
\end{qc}


\section{Matrices}

{\bf Matrice d'une application linéaire}, rang d'une matrice,
produit matriciel, transposition, matrices de passage, 
formule de changement de base, matrices semblables. 
Matrices triangulaires. 

Matrices blocs. Sous-espace stable par un endomorphisme. Endomorphisme
induit. Matrice dans une base adaptée.

Trace d'une matrice, d'un endomorphisme.

\section{Déterminants}

\subsection{d'une matrice}
Déterminant d'une matrice, d'un produit de matrice, d'une transposée.

Calculs : opérations sur les colonnes et sur les lignes, déterminant d'une
matrice triangulaire blocs, d'une matrice triangulaire. Développement par
rapport à une colonne ou une ligne.
\subsection{d'un endomorphisme}
Déterminant d'un endomorphisme $u$, de $u \circ v$, de $u$ automorphisme.
\subsection{de $n$ vecteurs}
Déterminant de $n$ vecteurs d'un espace de dimension $n$ dans une
base. Caractérisation des bases. 



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