GÉOMÉTRIES MODÈLES DE DIMENSION 3

YVES DE CORNULIER

Le but de cet exposé est de donner une preuve de la classification des géométries modèles de Thurston de dimension 3. Ces géométries on été introduites par ce dernier pour énoncer la conjecture de géométrisation, qui classifie, en un certain sens, les variétés de compactes de dimension 3 (voir [Scott]). La démonstration proposée ici utilise essentiellement des résultats simples sur les groupes de Lie de petite dimension, et ne requiert pas plus de technicité que les résultats fondamentaux sur la correspondance groupes-algèbres de Lie. On a pris un soin très particulier à prouver, dans chaque cas, l’axiome de (c) de maximalité (tous les détails ne sont pas développés dans la démonstration donnée dans [Thurs]).

Table des matières

1. Géométries modèles 1 2. Exemples fondamentaux 2 3. Étude de la dimension 3 3 4. Appendice 8 4.1. Algèbres de Lie unimodulaires de dimension 3 et leurs sous-groupes compacts

maximaux d’automorphismes 8

4.2. Quelques résultats de plongements 10 4.3. Extensions centrales des groupes d’isométries des surfaces 11 4.4. Construction de réseaux cocompacts 13 4.5. Structures de groupe sur les géométries modèles de Thurston 14 4.6. Petit tableau récapitulatif 15 Références 15

1. Géométries modèles

Si X est une variété différentielle, on note Diff(X) le groupe des difféomorphismes de X, muni de la topologie compacte-ouverte (pour qui la convergence est la convergence uniforme sur les compacts), qui en fait un groupe topologique.

Définition 1.1. Une géométrie modèle est un couple (G, X), X étant une variété différentielle et G un groupe de difféomorphismes de X, vérifiant les hypothèses (a) et (b) suivantes :

(a) X est simplement connexe.

(b) L’action de G sur X est transitive, à stabilisateurs compacts.

Commençons par observer les conséquences suivantes :

– Si (G, X) est une géométrie modèle, alors il existe sur X, grâce à (b), une métrique riemannienne μ invariante par G. Une telle métrique est forcément complète, car G agit transitivement. Mais elle n’est pas toujours unique à multiple scalaire près : elle l’est si et seulement si le stabilisateur G_{x} d’un point x (et donc de tout point) agit irréductiblement sur l’espace tangent T_{x}X.

– Si (G, X) est une géométrie modèle, alors G est un groupe de Lie. En effet, le stabilisateur K d’un point p ∈ X est compact, et se plonge dans O(T_{p}X), donc est un groupe de Lie (car tout sous-groupe fermé d’un groupe de Lie est de Lie). De plus, G/K s’identifie à X donc est aussi une variété. Donc, comme la projection G → G/K est un fibré de base X et de fibre K, et que K et X sont des variétés, G possède une unique structure de variété qui fait de ce fibré un fibré différentiable.

Date: 4 mai 2004.

– Soit G^{0} la composante neutre de G. Alors G^{0} agit transitivement sur X, et les stabilisateurs de G^{0} sont connexes. En effet, les orbites de G^{0} sont ouvertes (car G^{0} est ouvert dans G, et ce car G est un groupe de Lie), donc G^{0} agit transitivement par connexité de X. Ensuite, pour x ∈ X, l’inclusion (G_{x})^{0} ⊂ (G^{0})_{x} induit un revêtement G^{0}/(G_{x})^{0} → G^{0}/(G^{0})_{x} = X, trivial par simple connexité de X.

On définit une variété modelée sur (G, X) comme un quotient de X par un sous-groupe discret de G agissant librement sur X. Une variété modelée sur X hérite de toute métrique invariante sur X.

Définition 1.2. On dira qu’une géométrie modèle (G, X) est de Thurston si elle vérifie les axiomes supplémentaires (c) et (d) suivants :

(c) G est maximal parmi les groupes de difféomorphismes de X agissant avec stabilisateurs compacts.

(d) Il existe une variété compacte modelée sur (G, X).

– Si (G, X) est une géométrie modèle vérifiant l’axiome (c), et si μ est une métrique riemannienne invariante par G, alors G = Isom(X, μ). En effet, on sait que G ⊂ Isom(X, μ) ; or le groupe de isométries d’une variété riemannienne connexe agit toujours avec stabilisateurs compacts, donc par maximalité de G l’inclusion ci-dessus est une égalité. Ceci permet de voir que l’axiome (c) est équivalent au suivant : pour toute métrique μ G-invariante sur X, G = Isom(X, μ).

– Si (G, X) est une géométrie modèle vérifiant l’axiome (d), alors G est un groupe de Lie unimodulaire. En effet, il existe une variété compacte M = Γ\G modelée sur (G, X). Si, par choix d’un point-base on écrit X = G/K, on a M = Γ\G/K pour un certain sousgroupe discret Γ de G. Alors, comme K est compact, Γ\G est également compact, i.e. Γ est un réseau cocompact de G, ce qui impose à G d’être unimodulaire (car il possède un réseau). La réciproque n’étant pas vraie en général, on devra par la suite prouver au cas par cas l’existence d’un réseau dans les groupes que nous aurons à étudier.

2. Exemples fondamentaux

Des exemples classiques et fondamentaux de géométries modèles sont données par les espaces à courbure constante : l’espace euclidien E^{n} (n ≥ 1) à courbure nulle, la sphère S^{n} (n ≥ 2) à courbure constante positive, et l’espace hyperbolique H^{n} (n ≥ 2) à courbure constante négative. La métrique invariante est dans ces cas-là unique à multiple scalaire près, et le groupe des isométries ne dépend donc pas de ce choix, il s’agit respectivement de E(n), O(n + 1), et P O(n, 1) (ce dernier étant isomorphe à P GL(2, R) si n = 2), si bien que l’axiome (c) est vérifié.

Pour ces géométries modèles, l’axiome (d) est aussi respecté et ce sont donc des géométries de Thurston : c’est trivial dans le cas de la sphère puisqu’elle est elle-même compacte, et facile dans le cas de l’espace euclidien (prendre un tore). Reste à voir le cas hyperbolique bien connu. Il est très facile de “bricoler” des exemples en dimension 2 (en recollant quelques triangles hyperboliques), mais c’est plus difficile en dimension supérieure. L’argument le plus expéditif est d’utiliser l’argument général d’existence d’un réseau cocompact sans torsion dans tout groupe de Lie semi-simple (ici P O(n, 1), pour n ≥ 2). Donnons quand même un exemple explicite de variété compacte en dimension en dimension 3 : l’espace dodécaédral de Seifert-Weber (voir [Thurston, page 36] pour plus de détails). Pour l’obtenir, on considére, dans l’espace hyperbolique orienté de dimension 3, un dodécaèdre régulier d’angles dièdres 2π/5 (cela existe bien). On identife deux faces opposées de la façon suivante : on prend une face F, on considère l’axe partant du centre de cette face jusqu’au centre de la face opposée F′, et on translate F suivant cet axe jusqu’à F′, et on la tourne de 3π/5 (dans le sens positif déterminé par l’orientation), l’identifiant ainsi à la face opposée. On vérifie que ce recollement définit bien une structure de variété hyperbolique.

Le théorème qui suit dit que les espaces à courbure constante sont les seules géométries modèles en dimension 1 et 2.

Théorème 2.1 (Géométries modèles de dimension 1 et 2). La seule géométrie modèle de dimension 1 est E^{1} ≃ E(1)/O(1).

Les géométries modèles de Thurston de dimension 2 sont le plan euclidien E^{2} ≃ E(2)/O(2), la sphère S^{2} ≃ O(3)/O(2), et le plan hyperbolique H^{2} = P GL(2, R)/P O(2).

Remarque 2.2. La preuve qui suit montre que le résultat de ce théorème est valable sans utiliser l’axiome (d).

Elle montre également que c’est encore le cas si on remplace l’axiome (c) par sa forme faible suivante : la composante neutre G^{0} est maximal parmi les groupes connexes de difféomorphismes agissant sur X (donc, ici, si G^{0} est dimension 3), les mêmes arguments montrent qu’on obtient forcément comme espace l’un de ces trois, avec, comme groupe agissant, soit tout le groupe des isométries, soit le groupe des isométries directes.

Preuve : On fixe une métrique invariante. Pour le cas de dimension 1, on sait que toutes les métriques complètes sur R sont isométriques. Pour la dimension deux, par homogénéité, la courbure est constante. Or il est bien connu qu’une variété riemannienne complète simplement connexe à courbure constante est, à multiplication de la métrique par un scalaire près, la sphère euclidienne (courbure 1), l’espace euclidien (courbure 0), ou l’espace hyperbolique (courbure -1). Dans tous les cas, l’axiome (c) implique G = Isom(X). ■

Ce résultat ne tient plus en dimension ≥ 3 : on a par exemple les géométries produits S^{2} × E^{1} et H^{2} × E^{1} : la métrique invariante est unique à deux scalaires près : on peut la multiplier sur chaque facteur, ce qui ne change pas le groupe des isométries, qui est le produit des groupes des isométries de chaque facteur (cette remarque ne tient pas pour E^{2} × E^{1}), si bien que l’axiome (c) est vérifié (et l’axiome (d) l’est clairement, en prenant le produit d’une sphère ou d’une surface hyperbolique compacte avec un cercle).

Nous allons décrire un procédé qui permet de construire certaines géométries modèles de Thurston moins triviales.

Soit G un groupe de Lie unimodulaire simplement connexe. On pourrait espérer obtenir quelquechose d’intéressant avec les géométries modèles (G, X = G) pour l’action par multiplication à gauche, mais il y a bien peu de chances que l’axiome (c) soit vérifié. Mais faisons la chose suivante : soit K un groupe compact d’automorphismes du groupe G. Notons G_{l} l’ensemble des translations à gauche sur G (G_{l} s’identifie à G). Considérons le sous-groupe G′ de Diff(G) engendré par G_{l} et K. Si on note L_{g} la multiplication à gauche par g ∈ G, on a la relation φ ∘ L_{g} ∘ φ^{−1} = L_{φ(g)} pour tout φ ∈ Aut(G) et 𝔤 ∈ G. Ceci montre que G′ s’identifie naturellement au produit semi-direct G ⋊ K. L’action de G′ sur G est transitive (car G_{l} ⊂ G′) et à stabilisateurs compacts (car le stabilisateur de 1 ∈ G est K).

Pour que l’axiome (c) soit vérifié, il faut que K soit un sous-groupe compact maximal de Aut(G). Or, un résultat général, dit que, pour tout groupe de Lie G ayant un nombre fini de compasantes connexes, Aut(G) possède un sous-groupe compact maximal K, et que tout sous-groupe compact de Aut(G) est conjugué à un sous-groupe de K (c.f. G. D. Mostow, Self Adjoint Groups, Annals of Mathematics, Vol. 62, 1955). Mais on le prouvera explicitement pour chacun des cas dont on aura besoin par la suite, i.e. pour tous les groupes unimodulaires simplement connexes de dimension 3 (appendice 4.1). Pour chaque G, on fixe donc un groupe compact maximal d’automorphismes et on se demande si (c) est vérifié. Ce ne sera pas toujours vrai, si bien qu’il faudra raisonner au cas par cas.

3. Étude de la dimension 3

Il est remarquable que les méthodes décrites ci-dessus permettent de produire toutes les géométries modèles de dimension 3.

Il existe, à isomorphisme près, 6 groupes de Lie unimodulaires simplement connexes de dimension 3 (voir l’appendice, théorème 4.2) : SU(2), Ẽ^{+}(2), R^{3}, S̃L(2, R), NIL, et SOL.

Commençons par quelques observations utiles. Pour une géométrie modèle (G, X) de dimension 3, le stabilisateur d’un point est isomorphe à un sous-groupe fermé de O(3). En particulier, sa composante neutre est soit tout SO(3), soit triviale, soit l’ensemble des rotations autour d’un axe.

Dans le premier cas, i.e. si le stabilisateur d’un point est de dimension 3, il agit transitivement sur les 2-plans tangents en ce point, et donc G agit transitivement sur tous les 2-plans de T X. Si on choisit une métrique riemannienne invariante, sa courbure sectionnelle est donc constante, et on a donc affaire à E^{3}, S^{3}, ou H^{3} et à son groupe d’isométries.

Maintenant vérifions si (G_{l} ⋊ K, G) vérifie l’axiome (c), pour chacun des groupes G simplement connexes unimodulaires de dimension 3.

– G = SU(2). Alors K = Aut(G) = SO(3). En particulier, les stabilisateurs sont de dimension 3, donc la géométrie est à courbure constante, et Isom(G) = O(3) quel que soit le choix de la métrique (G ⋊ K)-invariante sur G. Donc (c) n’est pas vérifié, sinon on aurait G ⋊ K = Isom(G), mais G ⋊ K est connexe (c’est en fait la composante neutre SO(3) de Isom(G) = O(3)).

– G = Ẽ^{+}(2). Alors Aut(G) = Aut(𝔢(2)) = E(2), et un sous-groupe compact maximal de E(2) est le stabilisateur K de l’origine de E^{2}. Pour comprendre à quoi ressemble (G ⋊ K, G), considérons un sous-groupe à un paramètre V de E(3) donné par un vissage sur un axe vertical, et considérons le sous-groupe de E(3) engendré par V et les translations horizontales. Il est isomorphe à G = Ẽ^{+}(2), et agit simplement transitivement sur E^{3}. On voit alors K comme le groupe des isométries qui fixent l’axe vertical point par point (les rotations autour de cet axe et les reflexions sur un plan contenant cet axe), et donc l’action de G⋊K sur G s’identifie à l’action sur E^{3} de toutes les isométries qui respectent les droites verticales orientées. En particulier, l’axiome (c) n’est pas vérifié.

– G = R^{3}. Alors Aut(G) = GL(3, R), et un sous-groupe compact maximal est donné par K = O(3). Alors G ⋊ K = Isom(R^{3}) = E(3) quel que soit le choix de la métrique riemannienne invariante, et donc l’axiome (c) est vérifié.

Pour les trois cas restants, on aura besoin des deux lemmes suivants. Dans le groupe G, L_{g} (g ∈ G) désigne la translation h ↦ gh.

Lemme 3.1. Soit G un groupe, et N le normalisateur de G_{l} dans l’ensemble S(G) des permutations de G. Alors N est le produit semi-direct G_{l} ⋊ N_{1}, et N_{1} = Aut(G). Pour tous u ∈ Aut(G), g ∈ G, on a uL_{g}u^{−1} = L_{u(g)}.

Le même résultat vaut si G est un groupe topologique, en remplaçant S(G) par le groupe des homéomorphismes de G, et Aut(G) désignant alors l’ensemble des automorphismes du groupe topologique G.

Preuve : Puisque G_{l} agit simplement transitivement sur G et est distingué dans N, on a N = G_{l} ⋊ N_{1}. Si u ∈ N_{1}, on écrit uL_{g}u^{−1} = L_{h}. En évaluant en 1, on obtient u(g) = h, puis en évaluant en g′ ∈ G, on obtient u(gg′) = u(g)u(g′). Le cas topologique est obtenu de la même façon. ■

Lemme 3.2. Soit G un groupe de Lie connexe, et K un sous-groupe compact maximal de Aut(G). On suppose que G_{l} est un sous-groupe caractéristique de G_{l} ⋊ K. Alors G_{l} ⋊ K est maximal parmi les groupes de difféomorphismes agissant avec stabilisateurs de la même dimension que K.

Preuve : Soit H ⊃ G′ = G_{l} ⋊ K un groupe agissant avec stabilisateurs compacts sur G. Alors, comme dim(G′) = dim(H), G′ est ouvert dans H et H^{0} = G^{′0}. Donc, comme G_{l} est caractéristique dans G^{′0} qui est distingué dans H, il est distingué dans H. Donc, par le lemme 3.1, H_{1} est un sous-groupe de Aut(G), or il contient K et est compact, et donc, par maximalité de K, H_{1} = K. Comme H est engendré par H_{1} et G_{l}, cela prouve bien que H ⊂ G_{l} ⋊ K. ■

Revenons à G parmi les groupes S̃L(2, R), NIL, et SOL, K un sous-groupe compact maximal d’automorphismes de G. Soit H ⊃ G′ = G⋊K un groupe agissant avec stabilisateurs compacts sur G. Alors H agit avec stabilisateurs de dimension d, avec d ∈ {0, 1, 3} et d ≥ dim(K). Le cas d = 3 est exclu dans les trois cas : en effet, par le lemme 4.4, G′ ne se plonge pas dans le groupe des isométries d’un espace de dimension 3 à courbure constante. Le lemme 3.2 permet de ramener le cas d = dim(K) à montrer que, dans les trois cas, G_{l} est caractéristique dans G_{l} ⋊ K. Après cela, il ne restera plus qu’à étudier le cas G = SOL et d = 1.

– G = S̃L(2, R) ou NIL. Il faut montrer que G est caractéristique dans G⋊K. C’est vérifié, car dans les deux cas, l’algèbre de Lie de G est engendrée par l’algèbre de Lie dérivée de G ⋊ K. Dans le cas de G = S̃L(2, R), il suffit de remarquer que l’algèbre de Lie de G est un facteur direct de l’algèbre de Lie de G ⋊ K, le facteur direct engendrant le centralisateur de G dans G ⋊ K. Dans le cas de NIL, l’algèbre de Lie de G ⋊ K possède une base (K, X, Y, Z), avec Z central et [K, X] = Y, [K, Y] = −X, [X, Y] = Z.

– G = SOL. Cette fois, il est clair que G est caractéristique dans G ⋊ K, puisque c’est sa composante neutre. Il reste donc à envisager l’existence d’un groupe H ⊃ G′ = G ⋊ K agissant avec stabilisateurs compacts de dimension 1 ou 3 sur G.

Si H agit avec stabilisateurs de dimension 1 (i.e. dim(H) = 4), la proposition 4.5 prouve que H est alors localement isomorphe à SOL × R. Comme le centre de ce dernier est {1} × R, on en déduit que la composante neutre de H est isomorphe à SOL × R ou SOL × R/Z. Le premier de contient aucun sous-groupe compact non trivial donc est exclu, le second aussi car son unique sous-groupe compact maximal est central.

Si H agit avec stabilisateurs de dimension 3, c’est le groupe des isométries (ou sa composante neutre) d’une des trois géométries de dimension trois à courbure constante. Le lemme 4.4 permet d’exclure cette possibilité.

Théorème 3.3 (Classification en dimension 3). À isomorphisme près, il y a huit géométries modèles de Thurston (G, X) de dimension 3.

• Si les stabilisateurs sont de dimension 3, X est l’espace euclidien E^{3}, la sphère euclidienne S^{3}, ou l’espace hyperbolique H^{3} ; G est son groupe des isométries, soit E(3), O(4), ou P O(3, 1).

• Si les stabilisateurs sont de dimension 1, alors il y a un fibré naturel de X sur une géométrie modèle de dimension 2. Alors, X est soit un produit S^{2} × E^{1} ou H^{2} × E^{1}, soit la “Nilgéométrie” (NIL ⋊ O(2), NIL) (qui fibre sur E^{2}), soit la géométrie (S̃L(2, R) ⋊ O(2), S̃L(2, R)) (qui fibre sur H^{2}).

• Si les stabilisateurs sont finis, la seule géométrie possible est la “Sol-géométrie” (SOL ⋊ D_{4}, SOL), qui fibre naturellement sur E^{1}.

On va montrer en fait le résultat ci-dessous un peu plus fort :

Théorème 3.4. Soit (G, X) une géométrie modèle de dimension 3.

• Si les stabilisateurs sont de dimension 3, alors X est un des trois espaces à courbure constante, et G est soit Isom(X), soit Isom^{+}(X), l’axiome (d) est vérifié, et (c) est vérifié dans le premier cas.

• Si les stabilisateurs sont de dimension 1 ou 0 et si la géométrie est de Thurston, alors on obtient une des 5 géométries citées dans le théorème précédent.

• Si l’axiome (d) est vérifié, alors il existe un groupe G′ de difféomophismes de X contenant G tel que (G′, X) est une géométrie modèle vérifiant l’axiome (c).

Preuve :

• Le cas où les stabilisateurs sont de dimension 3 a déjà été mentionné ; on obtient une géométrie à courbure constante. Dans les trois cas, le groupe des isométries ne dépend pas du choix de la métrique, et a 2 composantes connexes.

• Considérons une géométrie modèle (G, X) ayant des stabilisateurs de dimension 1, et vérifiant l’axiome (d).

Pour tout point x de X, G_{x}^{0} agit sur l’espace tangent T_{x}X par rotations autour d’un axe D_{x}. Le champ de droites D_{x} est canonique, invariant par G en particulier. Par simple connexité de X, il est orientable. En faisant le choix d’une orientation, on définit un champ de vecteurs unitaires V, V_{x} engendrant D_{x} pour tout x. Alors V est invariant par G^{0}. Il définit un flot (ϕ_{t}) qui commute donc à l’action de G^{0}.

On va montrer que le flot (ϕ_{t}) agit par isométries, ce qui utilisera l’axiome (d).

Appelons “feuilles” les trajectoires de ce flot. Soit x ∈ X et r ∈ G_{x}^{0}. Alors r∘ϕ_{t}(x) = ϕ_{t}∘r(x) = ϕ_{t}(x), et donc r fixe point par point la feuille qui le contient. Ainsi, tous les points d’une même feuille ont le même stabilisateur.

Montrons que les feuilles sont des sous-variétés fermées de X. Pour x ∈ X, on note F_{x} la feuille contenant x. Comme G_{x}^{0} est compact, son action au voisinage de x est conjuguée à son action sur T_{x}X. Donc pour tout x ∈ X, il existe un voisinage C_{x} de x, un difféomorphisme u_{x} de x vers un cylindre standard (le produit cartésien d’un disque euclidien et d’un segment), envoyant l’action de G_{x}^{0} vers l’action de SO(2) par rotation isométrique de C, et envoyant x vers le centre de C.

Si on fixe une métrique G-invariante sur X, on peut définir C_{x_{0}} pour un x_{0} ∈ X et définir C_{x} comme g.C_{x_{0}} pour g ∈ G envoyant x_{0} sur x (C_{x} ne dépend pas du choix de g).

Soit A l’axe de C, et A_{x} = u_{x}^{−1}(A). Alors, pour tout x, montrons que F_{x} ∩ C_{x} = A_{x}. D’abord, l’inclusion F_{x} ∩ C_{x} ⊃ A_{x} est évidente. Réciproquement, si y ∈ F_{x} ∩ C_{x}, alors G_{x}^{0}(y) ⊂ F_{x}. Mais cela veut dire que u_{x}(F_{x}) contient alors l’orbite par SO(2) de u_{x}(y), qui est un cercle, i.e. F_{x} contient un cercle ne contenant pas x, ce qui est contradictoire (rappelons que F_{x} est l’image d’une immersion injective de R ou R/Z).

Cela implique déjà que les feuilles sont des sous-variétés localement fermées.

Supposons par l’absurde qu’il existe une feuille non fermée F. Alors il existe une autre feuille F′, telle que \overline{F} ∩ F′ est non vide. Soit x ∈ F et y ∈ \overline{F} ∩ F′. Alors G_{x}^{0} fixe F point par point, donc fixe un point de F′, dont fixe F′ point par point, donc G_{x}^{0} ⊂ G_{y}^{0}. Or ces deux groupes sont connexes de même dimension (car conjugués), donc ces groupes sont égaux. Or, au voisinage de y, l’action de G_{y} est conjuguée, via l’exponentielle, à son action sur T_{y}X. Donc, au voisinage de y, G_{y}^{0} ne fixe que des points de F′, ce qui est contradictoire puisqu’elle fixe les points de F. Donc toutes les feuilles sont des sous-variétés fermées de X.

Notons G_{F} le stabilisateur global de la feuille F ; G_{F} est fermé car F l’est. Si x ∈ F, G_{x}^{0}◁G_{F} (en effet mG_{x}^{0}m^{−1} = G_{m(x)}^{0} = G_{x}^{0}). Donc G_{F} agit sur G_{x}^{0} par conjugaison. L’action de G_{F} sur G_{x}^{0} donne un morphisme continu G_{F} → Aut(G_{x}^{0}) ≃ Z, qui est donc trivial sur (G_{F})^{0}. Comme (G_{F})^{0} est ouvert dans G_{F} et G_{F} agit transitivement sur F, (G_{F})^{0} est aussi transitif sur F, et commute donc aux éléments de G_{x}^{0}.

Soit alors t et g ∈ G_{F}^{0} qui ramène ϕ_{t}(x) en x. Alors g ∘ ϕ_{t} fixe x et commute à tous les

éléments de G_{x}^{0}. Or, dans une base adaptée, les éléments de G_{x}^{0} sont les (\begin{matrix}cos(t) & − sin(t) & 0 \\ sin(t) & cos(t) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

pour t ∈ R. Cela impose à g ∘ ϕ_{t} d’être de la forme (\begin{matrix}a & −b & 0 \\ b & a & 0 \\ 0 & 0 & c \end{matrix}). De plus, forcément c = 1 car

g et ϕ_{t} préservent le champ V. L’axiome (d) impose à ϕ de préserver le volume, ce qui impose a^{2} + b^{2} = 1. Cela prouve que la différentielle de ϕ_{t} est une isométrie pour tout t, donc le flot est par isométries. Il est donc contenu dans G (par l’axiome (c)), et il est même central dans G.

Notons Z le sous-groupe de G correspondant au flot. Vérifions que Z est fermé, et pour cela montrons que, pour toute feuille F, Z = Z(G)∩G_{F}^{0} . L’inclusion de gauche à droite est acquise. Soit z ∈ Z(G) ∩ G_{F}^{0} . Quitte à composer par un élément du flot, on peut supposer que z fixe F point par point. Mais alors, pour tout g ∈ G et x ∈ F, zgx = gzx = gx, donc z agit par l’identité (par transitivité), donc z = 1.

Soient F et F′ deux feuilles distinctes, et soit x ∈ F, et ε la distance de x à F′. Alors ε > 0 car F′ est fermée, et, comme le flot agit par isométries préservant F et F′ et agissant transitivement sur F, cela implique que la distance de F à F′ est > 0. Ainsi, le quotient Y par le flot est séparé.

Comme Z est central, on a l’égalité Z\G^{0}/K = G^{0}/ZK. Comme ce dernier est séparé, ZK est fermé dans G^{0}, si bien que le quotient Y est une surface, il hérite de l’action de G ainsi que de la métrique riemannienne obtenue en oubliant la valeur de la métrique le long du flot, et la projection X → Y est un fibré. La suite exacte de ce fibré donne π_{1}(X) → π_{1}(Y) → 0 car la fibre KZ est connexe, donc Y est simplement connexe.

Alors Y est l’une des géométries modèles de dimension 2 (car les stabilisateurs de l’action de G/Z sur Y sont de dimension 1, c.f. la remarque 2.2). Soit g dans le noyau de cette action, i.e. g stabilise globalement toutes les feuilles. Par composition par un élément de Z, on peut supposer que g fixe un point x, mais cela l’oblige à être l’identité (car l’action de g autour de x est par “rotations” autour d’un feuille, donc ne stabilise pas les autres feuilles au voisinage de x). Donc le noyau de cette action est Z. On a donc l’extension centrale

1 ⟶ Z ⟶ G^{0} ⟶ G/Z ⟶ 1

et G^{0}/Z est l’un des groupes SO(3), E^{+}(2), P SL(2, R). Cela induit une extension centrale d’algèbres de Lie

0 ⟶ R ⟶ 𝔤′ ⟶ 𝔤 ⟶ 0

où 𝔤 est l’une des algèbres de Lie 𝔰𝔬(3), 𝔢(2), 𝔰𝔩(2, R). Le stabilisateur d’un point se voit comme une inclusion 𝔰𝔬(2) ⊂ 𝔤′ induisant une inclusion SO(2) ⊂ G^{0} d’image non centrale.

On classifie en appendice (propositions 4.6, 4.7, et 4.11) toutes les extensions centrales de ce type et toutes les sous-algèbres 𝔰𝔬(2) ⊂ 𝔤′ possibles, à automorphisme près. Il y a 6 possibilités. Pour chaque possibilité, donnée par une algèbre de Lie 𝔤′ et une sous-algèbre de Lie non centrale de dimension 1 𝔨, on obtient la composante neutre du groupe correspondant en considérant le groupe de Lie simplement connexe G′ correspondant à 𝔤′, et posant G_{0} = G′/(Z(G′) ∩ K′), où K′ est le sous-groupe à un paramètre de G′ engendré par 𝔨. Si K est l’image de K dans ce quotient, K est par hypothèse compact et G^{0} = G_{0}, et X ≃ G_{0}/K.

– 𝔢(2)×R/𝔰𝔬(2)×{0}: cela correspond, en termes de groupes, à E^{+}(2)/SO(2)×R = E^{2}×E^{1}. La géométrie modèle correspondante pour G^{0} est (E^{+}(2)×E^{+}(1), E^{2} ×E^{1}). Les métriques G^{0}-invariantes sont uniques à deux scalaires près (on peut multiplier sur chaque facteur). Dans tous les cas, le groupe se plonge dans le groupe de toutes les isométries de E^{3}. C’est a fortiori le cas si la métrique est G-invariante. Donc l’axiome (c) n’est pas vérifié, et la géométrie (G, X) se plonge dans la géométrie euclidienne de dimension 3.

– 𝔰𝔬(3) × R/𝔰𝔬(2) × {0}, soit SO(3)/SO(2) × R = S^{2} × E^{1}. La géométrie modèle correspondante pour G^{0} est (SO(3) × E^{+}(1)/SO(2) × {1}. Les métriques G^{0} invariantes sont uniques à 2 scalaires près (on peut multiplier les composantes verticale et horizontale de la métrique), ce qui ne change pas le groupe des isométries, qui est O(3) × E(1). Alors G est contenu ce groupe, et, si égalité, l’axiome (c) est bien vérifié. Enfin, l’axiome (d) est vérifié (on peut modeler S^{2} × S^{1}).

– 𝔰𝔩(2, R) × R/𝔰𝔬(2) × {0}, soit P SL(2, R)/P SO(2) × R = H^{2} × E^{1}. Comme dans le cas précédent, les métriques G^{0}-invariantes sont uniques à deux scalaires près, ce qui ne change pas le groupe des isométries qui est P GL(2, R) × E(1). À nouveau, G est contenu ce groupe, et, si égalité, l’axiome (c) est bien vérifié. Enfin, l’axiome (d) est vérifié (on peut modeler M × S^{1} pour M surface hyperbolique compacte).

– 𝔰𝔬(3) × 𝔰𝔬(2)/diag(𝔰𝔬(2) × 𝔰𝔬(2)) (on identifie l’algèbre de Lie R à 𝔰𝔬(2) pour la bonne cause). Cela correspond à SO(3) × SO(2)/diag(SO(2) × SO(2)), ou encore à U(2)/U(1). On reconnaît là la fibration de Hopf.

Le sous-groupe SU(2) agit simplement transitivement sur X. Il est caractéristique dans G^{0} (car c’est le sous-groupe dérivé de G^{0}). Alors SU(2) est distingué dans G, et, par le lemme 3.1, les éléments du stabilisateur G_{1} de 1 ∈ SU(2) sont des automorphismes de SU(2). Donc la géométrie (G, X) ne vérifie pas l’axiome (c) : G est contenu dans le groupe engendré par les translations à gauche de SU(2) et les multiplications à gauche, qui donne la géométrie (SO(4), S^{3}), elle-même contenue dans la géométrie de Thurston (O(4), S^{3}).

– 𝔰𝔩(2, R) × 𝔰𝔬(2)/diag(𝔰𝔬(2) × 𝔰𝔬(2)). Alors X peut s’écrire S̃L(2, R) × S̃O(2)/diag(S̃O(2) × S̃O(2)). Le groupe n’agit S̃L(2, R) × S̃O(2) n’agit pas fidèlement, le noyau de l’action étant cyclique infini : c’est diag(N × N), où N est le noyau du revêtement universel S̃O(2) → SO(2). Le facteur direct S̃L(2, R) agit simplement transitivement sur X, et est caractéristique dans G^{0}.

Par conséquent, S̃L(2) est distingué dans G, et, par le lemme 3.1, les éléments du stabilisateur G_{1} de 1 ∈ S̃L(2, R) sont des automorphismes de S̃L(2, R). Donc G_{1} est contenu dans un sous-groupe compact maximal K de Aut(S̃L(2, R)) = P GL(2, R), et en cas d’égalité, on reconnaît bien la géométrie (S̃L(2, R) ⋊ K, S̃L(2, R)), dont on a montré en préliminaires qu’elle vérifie bien l’axiome (c).

– 𝔢^{∗}(2)/𝔨, où 𝔨 est engendrée par K. Notons E^{∗}(2) le groupe correspondant, et SO(2) le sousgroupe engendré par K. Le sous-groupe de Lie engendré par l’algèbre de Lie dérivée agit simplement transitivement sur X, et est isomorphe à NIL. Il est caractéristique dans G^{0}. La suite est entièrement analogue au cas précédent.

• Supposons maintenant que les stabilisateurs sont finis.

Alors, pour tout x ∈ X, G^{0} → X :g → gx est un revêtement, donc un difféomorphisme car X est simplement connexe. On peut donc identifier X à G^{0}. Alors G^{0} est un groupe de Lie simplement connexe de dimension 3 unimodulaire.

Alors G est produit semi-direct de G^{0} par le stabilisateur G_{x} de x ∈ X. De plus comme G agit fidèlement, par le lemme 3.1, l’action de G_{x} sur G par conjugaison est une action fidèle par automorphismes. Donc G_{x} est contenu dans un sous-groupe compact maximal d’automorphismes de G, et on a déjà étudié une par une les géométries de ce type, et elles se plongent toutes dans une géométrie vérifiant l’axiome (c). Pour que (G, X) vérifie lui-même l’axiome (c), il faut que G_{x} soit un sous-groupe compact maximal d’automorphismes de G, et la seule possibilité pour cela est que G^{0} = SOL et G_{x} ≃ D_{4}.

L’axiome (d) reste à prouver pour les trois derniers cas (S̃L(2, R), NIL, et SOL) ; c’est fait en appendice (paragraphe 4.4).

Lorsqu’on a montré que (SOL ⋊ D_{4}, SOL) vérifiait bien l’axiome (c), on a eu besoin du résultat que, pour toute géométrie modèle (G, X) avec stabilisateurs de dimension au moins 1, G se plongeait dans l’un des groupes des 7 géométries modèles de Thurston ayant des stabilisateurs de dimension 1. Ce résultat a maintenant été prouvé, ce qui achève la preuve. ■

4. Appendice

4.1. Algèbres de Lie unimodulaires de dimension 3 et leurs sous-groupes compacts maximaux d’automorphismes.

Soit G un groupe de Lie, et Δ : G → R_{+}^{∗} sa fonction modulaire. Le morphisme induit d’algèbres de Lie :𝔤 → R est la fonction x → Tr(𝔞𝔡(x)).

On veut donc classifier les algèbres de Lie 𝔤 de dimension 3, unimodulaires au sens où Tr(𝔞𝔡(x)) = 0 pour tout x.

Le produit étant alterné, il est défini par une application linéaire Λ^{2}𝔤 → 𝔤. Fixons une structure euclidienne orientée sur 𝔤. Alors Λ^{2}𝔤 s’identifie à 𝔤, et le produit se voit alors comme une application linéaire L : 𝔤 → 𝔤. On voit que l’unimodularité est équivalente au fait que L soit symétrique.

Il existe donc une base orthonormale directe (e_{1}, e_{2}, e_{3}) qui diagonalise L. On écrit L = diag(a_{1}, a_{2}, a_{3}) : autrement dit, [e_{i}, e_{i+1}] = a_{i+2}e_{i+2}, où les indices sont pris modulo 3. Un changement diagonal (α_{i}) de la structure euclidienne change a_{i} en a_{i}(α_{i−1}α_{i+1}/α_{i}) pour des réels α_{i} > 0. Prenant α_{i−1} = α_{i+1} = \sqrt{α} pour un α > 0 et α_{i} = 1, on voit qu’on peut se ramener à a_{i} ∈ {−1, 0, 1} pour tout i. On peut également permuter les éléments de la base, mais en changeant tous les signes si la permutation est impaire. Si on change le signe d’un vecteur de base, on change tous les signes des a_{i}. Ces opérations permettent de supposer a_{1} ≥ a_{2} ≥ a_{3}, et a_{1} + a_{3} ≥ 0, a_{2} ≥ 0, soit

(a_{1}, a_{2}, a_{3}) ∈ {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 1, −1), (1, 0, 0), (1, 0, −1), (0, 0, 0)}

Identifions tous ces cas :

– (1, 1, 1) définit 𝔰𝔬(3).

– (1, 1, −1) définit 𝔰𝔩(2, R).

– (1, 0, 0) définit l’algèbre de Heisenberg 𝔫𝔦𝔩.

– (0, 0, 0) définit l’algèbre de Lie abélienne.

– (1, 0, −1) définit 𝔢(2), algèbre de Lie du groupe des isométries du plan euclidien, qui est résoluble non nilpotente.

– (1, 1, 0) est appelée 𝔰𝔬𝔩, elle est aussi résoluble et non nilpotente.

On va maintenant s’intéresser aux groupes compacts d’automorphismes de chacune de ces algèbres de Lie.

• Commençons par étudier G = Aut(𝔰𝔬𝔩). On choisit une base (X, Y, H) de 𝔰𝔬𝔩 vérifiant [H, X] = X, [H, Y] = −Y, et [X, Y] = 0. Dans cette base, on voit facilement que

G = \{(\begin{matrix}a & 0 & x \\ 0 & b & y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & b & x \\ a & 0 & y \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}) , a, b ∈ R^{∗}, x, y ∈ R\}

Il a 8 composantes connexes. La composante neutre de Aut(𝔰𝔬𝔩) est l’ensemble des matrices

(\begin{matrix}a & 0 & x \\ 0 & b & y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) pour a, b > 0. Elle ne contient aucun sous-groupe compact non trivial : en effet, si

une telle matrice A appartenait à un sous-groupe compact K de G, les valeurs propres a et b seraient alors forcément 1, et donc A agirait de façon unipotente, et donc serait trivial. Donc tout sous-groupe compact de G s’injecte dans G/G^{0}.

Soit G′ le sous-groupe d’indice 2 des matrices de la première forme (i.e. dont l’action sur le quotient par l’algèbre de Lie dérivée est triviale).

Notons K_{0} le sous-groupe \{(\begin{matrix}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & b & 0 \\ a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}) , a, b ∈ \{±1\}\}. Alors K_{0} est fini d’ordre

8, isomorphe au groupe diédral D_{4}.

Comme |K_{0}| = 8 = |G/G^{0}|, K_{0} est un sous-groupe compact maximal de G; en particulier G/G^{0} ≃ K_{0} ≃ D_{4}. On veut montrer que tout sous-groupe compact K de G est conjugué à un sous-groupe de K_{0} par un élément de G^{0}. Rappelons que K s’identifie à un sous-groupe de G/G^{0} ≃ D_{4}.

Exercice 4.1. Tout élément d’ordre 2 ou 4 est conjugué à un élément de K_{0} par un élément de G^{0}.

Cela règle déjà le cas où K est un groupe cyclique. Les sous-groupes non cycliques de D_{4} sont lui-même et les deux groupes engendrés par deux reflexions sur des axes orthogonaux. Si K est non cyclique, il contient le centre de D_{4} (qui est d’ordre 2).

Quitte à conjuguer, grâce à l’exercice, cet élément est (\begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}). Alors K est inclus

dans son commutant, ce qui ramène le problème à montrer que dans l’ensemble des matrices

de la forme (\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix}) ou (\begin{matrix}0 & b \\ a & 0 \end{matrix}), tout sous-groupe fini est conjugué par des matrices diagonales

à coefficients positifs au groupes des matrices de cette forme n’ayant comme coefficients que des 0 ou ±1, et c’est laissé en exercice.

• Passons à 𝔢(2).Dans la base (K, X, Y) vérifiant [K, X] = Y, [K, Y] = −X, [X, Y] = 0, on a

Aut(𝔢(2)) = \{(\begin{matrix}a & −b & x \\ b & a & y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}a & b & x \\ b & −a & y \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}) , a^{2} + b^{2} > 0\} = E(2) × R_{+}^{∗} (c’est l’ensemble des

similitudes du plan euclidien).

Si K est un sous-groupe compact de E(2) × R_{+}^{∗}, son image dans R_{+}^{∗} esu un sous-groupe compact, donc est trivial. Donc K est contenu dans E(2).

Or, on sait que tous les sous-groupes compacts maximaux de E(2) sont conjugués à O(2) (par un argument géométrique : un groupe compact d’isométries du plan doit fixer un point).

• Passons à l’algèbre de Lie de Heisenberg 𝔫𝔦𝔩.

On prend la base habituelle (X, Y, Z), avec Z central et [X, Y] = Z. On vérifie immédiatement que, dans la base (X, Y, Z), le groupe G des automorphismes de 𝔫𝔦𝔩 est l’ensemble des matrices

de la forme B = (\begin{matrix}a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ x & y & λ \end{matrix}) avec ad − bc = λ ≠ 0. Remarquons la particularité que tout auto-

morphisme de 𝔫𝔦𝔩 préserve l’orientation.

Un sous-groupe compact d’automorphismes est donné par K_{0} = \{(\begin{matrix}R & 0 \\ 0 & det(R) \end{matrix}) , R ∈ O(2)\}.

Montrons que tout groupe compact K d’automorphismes de 𝔫𝔦𝔩 est conjugué à un sous-groupe de K_{0} (par un élément de G^{0}).

Comme tout sous-groupe compact de GL(2, R) est conjugué à un sous-groupe de O(2) (par des matrices de SL(2, R) si on veut), K est conjugué à un sous-groupe du groupe H des ma-

trices (\begin{matrix}a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ x & y & λ \end{matrix}) pour (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ O(2) et λ = ad − bc ∈ \{±1\}.

Or H est isomorphe à E(2) : prendre le morphisme

(\begin{matrix}A & 0 \\ X^{⊺} & 1 \end{matrix}) ↦ (det(A) (\begin{matrix}A^{⊺} & X \\ 0 & 1 \end{matrix}))^{−1}

Donc, comme K_{0} est isomorphe à O(2), c’est un sous-groupe maximal de H, et donc tout sous-groupe compact de H est conjugué (par un élément de H^{0}) à sous-groupe de K_{0}.

• Passons à 𝔰𝔩(2, R) et 𝔰𝔬(3). Pour ces deux algèbres de Lie, la forme de Killing, définie par B(x, y) = Tr(𝔞𝔡(x)𝔞𝔡(y)), est quadratique non dégénérée, de signature respectivement (2, 1), (0, 3). Les automorphismes doivent préserver la forme de Killing, et forment donc un sousgroupe de O(2, 1), resp. O(3). Dans chaque cas, on vérifie que les applications préservant la forme de Killing sont tous des automorphismes ou des antiautomorphismes. Dans le second cas, on en conclut Aut(𝔰𝔬(3)) = SO(3), l’action étant donnée par conjugaison. Dans le cas de 𝔰𝔩(2, R), on prend l’action par conjugaison de P GL(2, R), qui est isomorphe à un sous-groupe d’indice 2 de O(2, 1), d’où on conclut Aut(𝔰𝔩(2, R)) = P GL(2, R). Dans ce cas aussi, remarquons que les automorphismes préservent l’orientation.

Dans le cas de 𝔰𝔬(3), le groupe SO(3) des automorphismes est compact, donc l’assertion que tout sous-groupe fermé de SO(3) est conjugué à un sous-groupe de SO(3) est tautologique.

L’assertion analogue est aussi vraie pour 𝔰𝔩(2, R) : tout sous groupe compact de P GL(2, R) est conjugué à un sous-groupe de P O(2) (c’est une conséquence immédiate du résultat analogue connu dans GL(2, R)).

• Enfin, pour R^{3}, l’algèbre de Lie abélienne de dimension 3, le groupe des automorphismes est GL(3, R), et on sait que tout sous-groupe compact est conjugué à un sous-groupe de O(3).

Énonçons enfin le théorème que l’on a démontré.

Théorème 4.2. Soit 𝔤 une algèbre de Lie unimodulaire de dimension 3. Alors

– À isomorphisme près, 𝔤 est l’une des 6 algèbres de Lie suivantes : 𝔰𝔬(3), 𝔰𝔩(2, R), 𝔢(2), 𝔰𝔬𝔩, 𝔫𝔦𝔩, R^{3}.

– Dans Aut(𝔤), tout sous-groupe compact est contenu dans un sous-groupe compact maxi-

mal, et tous les sous-groupes compacts maximaux sont conjugués.

Pour chacune des 6 algèbres de Lie unimodulaires de dimension 3, un sous-groupe compact maximal est donné respectivement par SO(3) ⊂ SO(3), P O(2) ⊂ P GL(2, R), O(2) ⊂ E(2), K_{0} (≃ D_{4}) ⊂ Aut(SOL), K_{0} (≃ O(2)) ⊂ Aut(NIL), O(3) ⊂ GL(3, R).

4.2. Quelques résultats de plongements.

Lemme 4.3. Soit 𝔤 une algèbre de Lie unimodulaire de dimension 3, et 𝔥 une algèbre de Lie de dimension 3. Alors, si 𝔤 se plonge dans 𝔥 × R, alors 𝔤 est soit abélienne, soit isomorphe à 𝔥.

Preuve : . Soit i un plongement 𝔤 → 𝔥 × R, et p la projection 𝔥 × R → ℜ. Si p ∘ i est surjectif, alors il est bijectif et 𝔤 est isomorphe à 𝔥. Sinon, soit 𝔫 = p^{−1}(p ∘ i(𝔤)). Alors 𝔤 est isomorphe à i(𝔤) = 𝔫×R. Mais alors 𝔫 est une algèbre de Lie unimodulaire de dimension 2, donc abélienne, et donc 𝔤 aussi. ■

Étudions les commutants dans 𝔰𝔩(2, C), 𝔰𝔬(3) × 𝔰𝔬(3), et 𝔢(3).

– Si u ∈ 𝔰𝔩(2, C) est non nul, alors son commutant est de dimension réelle 2 : c’est la droite complexe Cu.

– Soit u = (v, w) ∈ 𝔰𝔬(3) × 𝔰𝔬(3) non nul. Alors soit v et w sont tous les deux non nuls, et le commutant de u est de dimension 2, c’est Ru × Rv, soit w, par exemple, est nul, et le commutant de u est alors de dimension 4, c’est R × 𝔰𝔬(3).

– Dans 𝔢(3), soit u un élément non nul. Soit u engendre un groupe de vissages (éventuellement de translations), et son commutant est de dimension 2 (il engendre tous les vissages sur le même axe), soit u engendre un groupe de translations, et alors son commutant est l’ensemble des translations, de dimension 3.

Proposition 4.4. Les algèbres de Lie 𝔰𝔩(2, R)×R, 𝔫𝔦𝔩, et 𝔰𝔬𝔩 ne se plongent pas dans 𝔰𝔬(4), 𝔢(3), 𝔰𝔩(2, C).

Preuve : On remarque que, pour un plongement 𝔰𝔩(2, R) × R → 𝔤, l’image du facteur R doit avoir un commutant de dimension au moins 4. Cela exclut directement les possibilités 𝔤 = 𝔢(3), 𝔰𝔩(2, C), et pour 𝔰𝔬(4), cela impliquerait que 𝔰𝔩(2, R) × R est isomorphe à 𝔰𝔬(3) × R, ce qui n’est pas le cas.

Pour le cas de 𝔫𝔦𝔩, le centre doit être envoyé sur des éléments ayant un commutant de dimension au moins trois. Cela exclut directement 𝔰𝔩(2, C). Pour 𝔢(3), son image serait abélienne, ce qui est exclu. Pour 𝔰𝔬(4), cela impliquerait que 𝔫𝔦𝔩 se plonge vers 𝔰𝔬(3) × R, et serait donc, par le lemme 4.3, isomorphe à 𝔰𝔬(3), ce qui n’est pas le cas.

Si on avait un plongement i : 𝔰𝔬𝔩 → 𝔰𝔬(4) ≃ 𝔰𝔬(3) × 𝔰𝔬(3), une des deux projections serait surjective (sinon les deux seraient de rang 1 et donc i serait de rang 2, absurde), et ce serait également absurde puisque 𝔰𝔬𝔩 n’est pas isomorphe à 𝔰𝔬(3). Si on avait un plongement 𝔰𝔬𝔩 → 𝔰𝔩(2, C), en prenant la base (H, X, Y) de 𝔰𝔬𝔩 définie par [H, X] = X, [H, Y] = −Y, [X, Y] = 0, i(X) et i(Y) commuteraient donc seraient C-colinéaires, mais sont des vecteurs propres pour des valeurs propres distinctes de 𝔞𝔡(i(H)), contradiction. Si on a un plongement i : 𝔰𝔬𝔩 → 𝔢(3), on regarde la composition avec le morphisme naturel 𝔢(3) → 𝔰𝔬(3). Il n’est pas de rang 3, puisque 𝔰𝔬𝔩 n’est pas isomorphe à 𝔰𝔬(3). Il est donc de rang au plus 1. On peut donc voir i comme un plongement de 𝔰𝔬𝔩 vers R^{3} ⋊ 𝔰𝔬(2) ≃ 𝔢(2) × R. Cela contredit le lemme 4.3 car 𝔰𝔬𝔩 n’est ni abélien ni isomorphe à 𝔢(2). ■

Proposition 4.5. Soit 𝔤 une algèbre de Lie (sur un corps K de caractéristique ≠ 2) unimodulaire de dimension 4 contenant 𝔰𝔬𝔩. Alors 𝔤 est isomorphe à 𝔰𝔬𝔩 × K.

Preuve : Soit (H, X, Y) une famille libre de 𝔤 vérifiant [H, X] = X, [H, Y] = −Y, [X, Y] = 0. Soit Z un élément qui complète cette famille en une base. Si on écrit [H, Z] = aX+bY +cH+dZ, comme Tr(𝔞𝔡(H)) = 0, on a d = 0. Ensuite, quitte à remplacer Z par Z −aX +bY, on se ramène à a = b = 0. Ainsi, [H, Z] = cH.

On écrit l’identité de Jacobi [[H, Z], X] + [[Z, X], H] + [[X, H], Z] = 0. Cela donne, en posant U = [Z, X], cX − [H, U] + U = 0. Un coup d’oeil à 𝔞𝔡(H) fait voir que X n’est pas contenu dans l’image de (1 − 𝔞𝔡(H)). Cela impose c = 0, et donc U ∈ Ker(1 − 𝔞𝔡(H)), or ce dernier est égal à KX (car la caractéristique est différente de 2), si bien que U = λX pour un λ ∈ K. De façon analogue, on obtient V = [Z, Y] = μY, μ ∈ K. Comme Tr(𝔞𝔡(Z)) = 0, μ = −λ. Par conséquent, quitte à remplacer Z par Z − λH, on peut supposer que [H, Z] = [X, Z] = [Y, Z] = 0, et donc que 𝔤 ≃ 𝔰𝔬𝔩 × K. ■

4.3. Extensions centrales des groupes d’isométries des surfaces.

Une extension centrale entre algèbres de Lie est une suite exacte

0 ⟶ 𝔞 ⟶^{i} 𝔤′ ⟶ 𝔤 ⟶ 0

telle que i(𝔞) est central dans 𝔤′. On dit alors que 𝔤′ est une extension centrale de 𝔤 par 𝔞.

On s’intéressera spécifiquement aux extensions centrales de 𝔤 par l’algèbre de Lie R abélienne de dimension 1, quand 𝔤 est l’une des trois algèbres de Lie 𝔰𝔬(3), 𝔰𝔩(2, R), 𝔢(2), i.e. l’algèbre de Lie du groupe des isométries directes d’une géométrie modèle de Thurston de dimension 2. Les cas possibles sont résumés dans les deux proposition qui suivent.

Proposition 4.6. Toute extension centrale entre algèbres de Lie

0 ⟶ R ⟶ 𝔤′ ⟶ 𝔤 ⟶ 0, 𝔤 ∈ {𝔰𝔬(3), 𝔰𝔩(2, R)}

est scindée (donc triviale).

Preuve : Rappelons que 𝔰𝔩(2, R) a une base (H, X, Y) constituée de matrices H, X, Y vérifiant les relations

[H, X] = 2X, [H, Y] = −2Y, et [X, Y] = H. (∗)

Donc 𝔤′ a une base (H′, X′, Y′, Z) telle que Z′ est central et

[H′, X′] = 2X′ + 2aZ, [H′, Y′] = −2Y′ − 2bZ [X′, Y′] = H′ + cZ

pour des réels a, b, c. On vérifie immédiatement que la famille (H′ + c, X′ + a, Y′ + b) vérifie les relations (∗), et donc on a une section. Le cas de 𝔰𝔬(3), qui a une base (K, X, Y) vérifiant [K, X] = Y, [K, Y] = −X, [X, Y] = K, est analogue. ■

Le résultat de la proposition est faux pour 𝔤 = 𝔢(2). Rappelons que l’algèbre de Lie 𝔤 = 𝔢(2) a une base (K, X, Y) vérifiant les relations

[K, X] = Y [K, Y] = −X [X, Y] = 0.

Proposition 4.7. Si 𝔤′ est une extension centrale de 𝔤 = 𝔢(2) par R, alors 𝔤′ possède une base (K, X, Y, Z) avec Z central, [K, X] = Y, [K, Y] = −X, et [X, Y] = εZ, avec ε ∈ {0, 1}. Dans le cas où ε = 1, l’extension n’est pas scindée ; on notera 𝔢^{∗}(2) l’extension centrale non triviale de 𝔢(2) par R.

Preuve : Il existe une base (K′, X′, Y′, Z′) avec Z′ central vérifiant les relations [K′, X′] = Y′ + aZ′, [K′, Y′] = −X′ − bZ′, et [X′, Y′] = cZ′. En posant X = X′ + bZ′ et Y = Y′ + aZ′, on regarde les relations dans la base (K′, X, Y, Z′) : [K′, X] = Y, [K′, Y] = −X, [X, Y] = cZ′. Si c = 0, l’extension est scindée. Si c ≠ 0, le centre est inclus dans l’algèbre de Lie dérivée et donc l’extension n’est pas scindée. En posant Z = cZ′ et K = K′, la base (K, X, Y, Z) vérifie bien les relations voulues avec ε = 1. ■

Définition 4.8. Si 𝔤 est une algèbre de Lie (réelle de dimension finie), on appelera ici sousalgèbre compacte toute sous-algèbre de Lie 𝔨 de 𝔤 telle qu’il existe un groupe de Lie d’algèbre de Lie 𝔤, et tel que le sous-groupe de Lie correspondant à 𝔨 soit compact. Deux sous-algèbres de Lie sont dites conjuguées s’il existe un automorphisme de 𝔤 envoyant l’une sur l’autre.

Si 𝔤 est une algèbre de Lie, toute sous-algèbre de Lie de son centre 𝔷 est compacte. On dira qu’une sous-algèbre compacte 𝔥 est effective si 𝔥 ∩ 𝔷 = {0}.

On va chercher à classifier, à conjugaison près, les sous-algèbres compactes effectives de dimension 1 de 𝔤′, pour 𝔤′ parmi R × 𝔰𝔬(3), R × 𝔢(2), 𝔢^{∗}(2), R × 𝔰𝔩(2, R). On note 𝔤 le quotient de 𝔤′ par son centre, soit respectivement 𝔰𝔬(3), 𝔢(2), 𝔢(2), 𝔰𝔩(2, R).

Commençons par observer que l’image dans 𝔤 d’une sous-algèbre compacte de 𝔤′ est compacte. On note dans les trois cas 𝔰𝔬(2) l’algèbre de lie engendrée par K, avec, pour 𝔤 = 𝔰𝔩(2, R), K = X − Y.

Proposition 4.9. Soit 𝔤 ∈ {𝔰𝔬(3), 𝔢(2), 𝔰𝔩(2, R)}. Toute sous-algèbre compacte de dimension 1 de 𝔤 est conjuguée à 𝔰𝔬(2) et est effective.

Preuve : Soit G le groupe de Lie de centre trivial correspondant à 𝔤. Alors G ∈ {SO(3), E^{+}(2), P SL(2, R)}, et les sous-groupes compacts de dimension 1 de chacun de ces trois sont les stabilisateurs des points de respectivement S^{2}, R^{2}, et H^{2}, donc sont conjugués. ■

Corollaire 4.10. Toute sous-algèbre compacte de dimension 1 de 𝔤 × R est conjuguée à une sous-algèbre de 𝔰𝔬(2) × R.

Soit 𝔨 une sous-algèbre compacte effective de dimension 1 de 𝔤 × R incluse dans 𝔰𝔬(2) × R. Soit (aK, b) un générateur de 𝔨. Comme 𝔨 est effective, a ≠ 0, et on peut donc supposer que a = 1. Par une dilatation par rapport à R, on peut supposer que b ∈ {0, 1)}. Dans les deux cas, on vérifie bien que 𝔨 est compacte. Il faut voir si les sous-algèbres compactes R(1, 0) et R(1, 1) sont conjuguées. Dans le cas où 𝔤 est simple, i.e. 𝔤 ∈ {𝔰𝔬(3), 𝔰𝔩(2, R)}, on vérifie immédiatement que 𝔤 × {0} est le seul idéal de dimension 3 de 𝔤. Cela empêche R(K, 0) et R(K, 1) d’être conjuguées. En revanche, dans le cas de 𝔤 = 𝔢(2), on voit que, l’application linéaire qui envoie (K, 0) sur (K, t) et qui fixe (X, 0), (Y, 0), et (0, 1) est un automorphisme de 𝔤 × R pour tout t ∈ R.

Énonçons donc ce qu’on vient de démontrer, mais, avant cela, on choisira de noter 𝔰𝔬(2) aussi bien R que la sous-algèbre compacte de dimension 1 choisie dans 𝔤.

Proposition 4.11. Si 𝔤 ∈ {𝔰𝔬(3), 𝔰𝔩(2, R)}, à conjugaison près, les sous-algèbres compactes effectives de dimension 1 de 𝔤 × 𝔰𝔬(2) sont 𝔰𝔬(2) × {0} et diag(𝔰𝔬(2) × 𝔰𝔬(2)).

À conjugaison près, la seule sous-algèbre compacte effective de dimension 1 de 𝔢(2) est 𝔰𝔬(2)× {0}.

Il reste le cas de 𝔤′ = 𝔢^{∗}(2). Soit 𝔨 une sous-algèbre compacte dimension 1. Sa projection sur 𝔢(2) est une sous-algèbre compacte. Il faut d’abord voir que les automorphismes conjuguant les sous-algèbres compactes de 𝔤 remontent à 𝔤′. Or les translations de R^{2} conjuguent les sousalgèbres compactes de 𝔤. L’action de la translation (a, b) sur 𝔤 est donnée par K ↦ K+bX−aY, X ↦ X, Y ↦ Y. On peut la relever en un automorphisme de 𝔤′ par K ↦ K + bX − aY, X ↦ X − bZ, Y ↦ Y + aZ, Z ↦ Z.

Cela permet de supposer que 𝔨 est incluse dans le sous-espace engendré par K et Z. Comme 𝔨 n’est pas central, il possède un générateur de la forme K + aZ. Mais remarquons que, pour tout t ∈ R l’application linéaire qui envoie K sur K + tZ et fixe X, Y, et Z est un automorphisme de l’algèbre de Lie 𝔤′. On peut donc supposer que a = 0. Il reste à vérifier que K engendre bien une sous-algèbre compacte, ce qui est clair grâce à le représentation matricielle :

K = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) X = (\begin{matrix}0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) Y = (\begin{matrix}0 & −i/2 & 0 \\ 0 & 0 & i/2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) Z = (\begin{matrix}0 & 0 & i/2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

On a prouvé

Proposition 4.12. À conjugaison près, la seule sous-algèbre compacte de 𝔢^{∗}(2) est la sousalgèbre engendrée par K.

4.4. Construction de réseaux cocompacts.

Pour démontrer l’axiome (d) pour une géométrie modèle (G, X), il suffit d’exhiber un réseau cocompact Γ sans torsion de G : Γ\X est alors une variété compacte modelée sur (G, X).

On l’a déjà fait pour les géométries à courbure constante (pour la géométrie euclidienne, prendre un réseau de translations, et pour la géométrie sphérique, le sous-groupe trivial est un réseau cocompact ; pour la géométrie hyperbolique de dimension 3, on a directement mentionné l’existence d’une variété hyperbolique compacte, l’espace dodécaédral de Seifert-Weber).

Pour les géométries produits, il suffit d’exhiber un produit de réseaux cocompacts sans torsion.

Pour S̃L(2, R), il suffit de prendre l’image réciproque d’un réseau cocompact de SL(2, R), il sera sans torsion car S̃L(2, R) lui-même est sans torsion.

Voici comment construire des réseaux cocompacts sans torsion dans SOL, NIL (et Ẽ^{+}(2)), ce qui règle les cas restants.

Soit (u_{t}) un sous-groupe à un paramètre de GL(E), où E est un espace vectoriel réel de dimension 2. On définit le sous-groupe à un paramètre de transformations affines de E × R : g_{t} : (v, x) ↦ (u_{t}(v), x + t) (on peut voir le voir comme un groupe de “vissages”). On considère le groupe G engendré par les translations de E et par (g_{t}). Alors G est un produit semi-direct E ⋊ R pour l’action de R par (u_{t}). Il agit sur E × R de façon affine et simplement transitive.

Posons maintenant E = R^{2}, et supposons que A = u_{1} est une matrice à coefficients entiers. Alors le sous-groupe H engendré par les translations entières et par u_{1} est un sous-groupe discret cocompact de G : en effet, le quotient de E × R par H se construit comme suit : on part de R^{2}/Z^{2} × [0, 1], et on recolle R^{2}/Z^{2} × {0} et R^{2}/Z^{2} × {1} en appliquant A, ce qui est possible car A est à coefficients entiers.

Comme A est forcément de déterminant 1 (il est positif car A appartient à la composante neutre de GL(2, R)), le sous-groupe (u_{t}) doit être contenu dans SL(2, R). Il y a essentiellement quatre possibilités. Soit il est trivial, et alors G est isomorphe à R^{3}. Soit il est diagonalisable réel, et alors G est isomorphe à SOL. Soit il est diagonalisable complexe (mais pas réel), et alors G est isomorphe à Ẽ^{+}(2). Soit il est unipotent, et alors G est isomorphe à NIL. Ceci prouve l’existence d’un réseau cocompact sans torsion dans chacun de ces groupes (car, dans chaque cas, on n’a aucune difficulté à exhiber un sous-groupe à un paramètre (u_{t}) de la bonne forme, tel que A soit une matrice entière).

4.5. Structures de groupe sur les géométries modèles de Thurston.

Presque toutes les géométries obtenues en dimension ≤ 3 possèdent une structure de groupe. Pour préciser cela, on va regarder, pour chacune des géométries modèles de Thurston (G, X) de dimension ≤ 3, les sous-groupes de Lie de G agissant sur X de façon simplement transitive.

– E^{1} : le seul sous-groupe de G agissant de façon simplement transitive est E^{+}(1).

– E^{2} : le seul sous-groupe de G agissant de façon simplement transitive est le groupe des translations R^{2}.

– S^{2} : tout élément de G^{0} a un point fixe, donc il n’y a certainement pas de sous-groupe agissant simplement transitivement.

– H^{2} : les sous-groupes de dimension 2 de P SL(2, R) sont tous conjugués au sous-groupe des matrices triangulaires supérieures. Il agissent de façon simplement transitive sur H^{2} (géométriquement, chacun de ces groupes s’obtient en prenant le stabilisateur dans P SL(2, R) d’un point à l’infini de H^{2}). Ces groupes ne sont pas unimodulaires.

– E^{3}. Soit H un tel groupe. L’image de H dans SO(3) n’est pas tout SO(3) (car H → SO(3) serait un revêtement), donc est soit trivial, et H serait le groupe des translations (isomorphe à R^{3}), soit l’ensemble des rotations autour d’un axe, et alors H est engendré par les translations orthogonales à cet axe et par un groupe de vissages sur cet axe, et est isomorphe à Ẽ^{+}(2).

– S^{3}. SO(4) possède exactement deux sous-groupes isomorphes à S^{3}, conjugués dans O(4). Ils agissent de façon simplement transitive sur la sphère (si on fixe une structure de groupe sur la sphère, on peut voir l’un comme l’ensemble des translations à gauche et l’autre comme l’ensemble des translations à droite).

– H^{3}. Soit H un sous-groupe de Lie de dimension 3 de P SL(2, C) agissant librement sur H^{3}, et 𝔥 sa sous-algèbre de Lie. Alors 𝔥 n’est pas isomorphe à 𝔰𝔬(3), ni à 𝔰𝔩(2), car sinon elle engendrerait un groupe de Lie possédant un sous-groupe compact non trivial. Donc elle est résoluble de dimension 3, ce dont on déduit sans difficulté qu’elle contient une sous-algèbre abélienne de dimension 2, et donc la C-algèbre de Lie qu’elle engendre est de dimension complexe 2, donc, quitte à conjuguer, est l’ensemble 𝔱 des matrices triangulaires supérieures de 𝔰𝔩(2, C). Alors 𝔥 est de codimension 1 dans 𝔱, et on voit facilement qu’il contient la sous-algèbre 𝔲 des matrices unipotentes (qui engendrent un sous-groupe

U de H). Donc 𝔥 est engendré par 𝔲 et par une matrice diagonale non nulle A = (\begin{matrix}u & 0 \\ 0 & −u \end{matrix}).

Alors 𝔞𝔡(A) agit sur les matrices unipotentes par z ↦ uz. Comme le groupe exp(RA) n’est pas compact, |u| ≠ 1. Donc 𝔥 n’est pas unimodulaire, et H est isomorphe à R^{2} ⋊_{α} R, pour une action α de R sur R^{2} par des similitudes non isométriques.

Concrètement, H fixe un point à l’infini, U préserve les horocycles en ce point, et les sous-groupes à un paramètre D de U non contenus dans H agissent par vissage sur une géodésique (dépendant de D), ce groupe de vissages dégénérant en un groupe de transvections dans le cas particulier où u est réel, i.e. quand l’action de R sur R^{2} est par homothéties.

– S^{2} ×E^{1}. Si H est un sous-groupe de SO(3)×E^{+}(1) agissant librement, alors sa projection vers E^{+}(1) est injective, donc H ne peut pas être de dimension > 1.

– H^{2} × E^{1} et S̃L(2, R). Soit 𝔥 une sous-algèbre de Lie de dimension 3 de 𝔰𝔩(2, R) × R. Si sa projection sur 𝔰𝔩(2, R) est surjective, elle est isomorphe à 𝔰𝔩(2, R), et donc sa projection sur R est nulle, et dans ce cas 𝔥 = 𝔰𝔩(2, R) × {0}. Sinon, la projection sur 𝔰𝔩(2, R) est de dimension 2, et 𝔥 est conjuguée à 𝔟×R, où 𝔟 est la sous-algèbre de dimension 2 de 𝔰𝔩(2, R) formée des matrices triangulaires supérieures, et n’est pas unimodulaire dans ce cas.

Il faut voir si ces groupes agissent librement. Dans le cas de H^{2} × E^{1}, seuls B × E^{+}(1) et ses conjugués agissent librement, où B est le groupe des matrices triangulaires supérieures dans P SL(2, R) Dans le cas de S̃L(2, R), S̃L(2, R) agit librement, aussi bien que les conjugués du groupe B′ (non unimodulaire) engendré par 𝔟 × R.

– NIL. Le seul sous-groupe agissant simplement transitivement est NIL lui-même, qui est le sous-groupe dérivé de G^{0}. En effet, soit 𝔥 une sous-algèbre de Lie de dimension 3 de 𝔢^{∗}(2). Comme l’extension centrale est non triviale, elle contient le centre (sinon, ce serait un facteur direct). Modulo le centre, c’est donc une sous-algèbre de dimension 2 de 𝔢(2), donc c’est son algèbre de Lie dérivée.

– SOL. Puisque le groupe des isométries est de dimension 3, le seul sous-groupe agissant de façon simplement transitive est SOL lui-même.

4.6. Petit tableau récapitulatif. On inclut là-dedans deux des géométries modèles ne vérifiant pas l’axiome (c), mais qui sont naturellement apparues au cours de la démonstration.

X  (c)  G  𝔤  dim(G_{x}) Nombre de  G préserve Fibre sur  Fibre sur
vérifié  composantes  une  sur E^{1}  une surface
de G  orientation  modèle
E^{3}  -  E(3)  𝔢(3)  3  2  -  -  -
S^{3}  -  O(4)  𝔰𝔬(4)  3  2  -  -  -
H^{3}  -  P O(3, 1)  𝔰𝔬(3, 1) ≃ 𝔰𝔩(2, C)  3  2  -  -  -
E^{2} × E^{1} Non  E(2) × E(1)  𝔢(2) × R  1  4  -  Oui  E^{2}
S^{2} × E^{1}  -  O(3) × E(1)  𝔰𝔬(3) × R  1  4  -  Oui  S^{2}
H^{2} × E^{1}  -  P GL(2, R) × E(1)  𝔰𝔩(2, R) × R  1  4  -  Oui  H^{2}
NIL  -  NIL ⋊ O(2)  𝔫𝔦𝔩 ⋊ 𝔰𝔬(2) ≃ 𝔢^{∗}(2)  1  2  Oui  -  E^{2}
HOP F  Non  S^{3} ⋊ O(2)  𝔰𝔬(3) × R  1  2  Oui  -  S^{2}
S̃L(2, R)  -  S̃L(2, R) ⋊ O(2)  𝔰𝔩(2, R) × R  1  2  Oui  -  H^{2}
SOL  -  SOL ⋊ D_{4}  𝔰𝔬𝔩  0  8  -  Oui  -

Références

Références

[Scott] Peter Scott. The Geometries of 3-Manifolds. Bull. London Math. Soc. 15, 401-487, 1983.

[Thurs] William P. Thurston. Three-Dimensional Geometry and Topology, édité par Silvio Levy, Princeton University Press, 1997.

Yves de Cornulier ENS Paris ; EPF Lausanne (IGAT)

E-mail : decornul@clipper.ens.fr

Homepage (with possibly an updated version of this article) :

http://www.eleves.ens.fr/home/decornul/