Preuve demandée contre espèces sonnantes et trébuchantes

Guillaume Charpiat, sur une idée d’Arnaud Basson

30 octobre 2001

Théorème Soit f ∈ L^{2}([0; 2π], ℝ), continue en un point x_{0} de ]0; 2π[. Si la série de

Fourier de f converge en x_{0}, alors elle converge vers f(x_{0}).

Preuve Soit f ∈ L^{2}([0; 2π], ℝ), continue en x_{0} ∈]0; 2π[, telle que la série de Fourier

de f converge en x_{0}.

Notons α_{n} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(y)e^{−iny}dy, et S_{k}(x) = ∑_{j=−k}^{k} α_{j}e^{ijx} pour n ∈ ℕ.

Pour une meilleure convergence, on utilise la suite de Cesàro : Σ_{n}(x) = \frac{1}{n + 1} ∑_{k=0}^{n} S_{k}(x).

Puisque (S_{k}(x_{0}))_{k} converge, (Σ_{n}(x_{0}))_{n} converge aussi, et vers la même limite (Cesàro). On cherche donc à prouver que lim_{n→+∞} Σ_{n}(x_{0}) = f(x_{0}).

On développe bêtement :

Σ_{n}(x_{0}) = \frac{1}{n + 1} ∑_{k=0}^{n} S_{k}(x_{0})

= \frac{1}{n + 1} ∑_{k=0}^{n} ( ∑_{j=−k}^{k} α_{j}e^{ijx_{0}})

= \frac{1}{n + 1} ∑_{j=−n}^{n}(n + 1 − |j|)α_{j}e^{ijx_{0}}

= ∫_{0}^{2π} f(y) (∑_{j=0}^{n} \frac{n + 1 − |j|}{2π(n + 1)}e^{ij(x_{0}−y)}) dy

Intuitivement, il s’agit de démontrer que F_{n}(t) = ∑_{j=−n}^{n} \frac{n + 1 − |j|}{2π(n + 1)}e^{ijt} tend

vers un Dirac en 0 aux yeux de la fonction f dans cette intégrale, quand n tend vers l’infini. On a, ∀t ∈]0; 2π[:

F_{n}(t) = \frac{1}{2π(n + 1)} ∑_{k=0}^{n} ∑_{j=−k}^{k} e^{ijt}

= \frac{1}{2π(n + 1)} ∑_{k=0}^{n} \frac{sin((k + 1/2)t)}{sin(t/2)}

= \frac{1}{2π(n + 1)sin(t/2)}ℑ (∑_{k=0}^{n} e^{(k+1/2)t})

= \frac{1}{2π(n + 1)} (\frac{sin(\frac{n+1}{2}t)}{sin(t/2)})^{2}

On montre facilement, en utilisant cette expression, que F_{n} converge uniformément vers 0 sur tout intervalle du type [η; 1 − η].

De plus, on a F_{n} positive et :

∫_{0}^{2π} F_{n}(t)dt = ∫_{0}^{2π} ∑_{j=−n}^{n} \frac{n + 1 − |j|}{2π(n + 1)}e^{ijt}dt

= ∑_{j=−n(j≠0)}^{n} [−i\frac{n + 1 − |j|}{2πj(n + 1)}e^{ijt}]_{0}^{2π} + 1
= 1

La suite (F_{n})_{n} semble donc bien tendre vers un Dirac en 0 . Explicitons la convergence.

f est continue en x_{0}. Soit ε > 0 et η vérifiant 0 < η < x_{0} < 1 − η tel que sup_{[x_{0}−η;x_{0}+η]} |f − f(x_{0})| < ε. Il existe un n_{0} tel que pour tout n > n_{0} on ait :

sup_{[η;1−η]} |F_{n}| < ε, et donc :

∫_{[0;2π]\[x_{0}−η;x_{0}+η]} |f(y)F_{n}(x_{0} − y)|dy ⩽ (∫_{[0;2π]} |f|^{2})^{1/2} (∫_{[0;2π]\[x_{0}−η;x_{0}+η]} |F_{n}(x_{0} − y)|^{2}dy)^{1/2}
⩽ \sqrt{2π}||f||_{2} sup_{[η;1−η]} |F_{n}|
⩽ (\sqrt{2π}||f||_{2})ε

D’autre part, comme F_{n} est positive :

(f(x_{0})−ε) ∫_{[x_{0}−η;x_{0}+η]} F_{n}(x_{0}−y)dy ⩽ ∫_{[x_{0}−η;x_{0}+η]} f(y)F_{n}(x_{0}−y)dy ⩽ (f(x_{0})+ε) ∫_{[x_{0}−η;x_{0}+η]} F_{n}(x_{0}−y)dy

soit, comme 1 − (1 − 2η)ε ⩽ ∫_{[x_{0}−η;x_{0}+η]} F_{n}(x_{0} − y)dy ⩽ 1 : f(x_{0})−ε−(1−2η)ε|f(x_{0})| ⩽ ∫_{[x_{0}−η;x_{0}+η]} f(y)F_{n}(x_{0}−y)dy ⩽ f(x_{0})+ε+(1−2η)ε|f(x_{0})|

On additionne les deux derniers résultats et l’on trouve : f(x_{0})−ε (1 + |f(x_{0})| + \sqrt{2π}||f||_{2}) ⩽ ∫_{0}^{2π} f(y)F_{n}(x_{0}−y)dy ⩽ f(x_{0})+ε (1 + |f(x_{0})| + \sqrt{2π}||f||_{2})

On a donc :

∃C, ∀ε > 0, ∃n_{0}, ∀n > n_{0}, |∫_{0}^{2π} f(y)F_{n}(x_{0} − y)dy − f(x_{0})| ⩽ Cε

∀ε > 0, ∃n_{0}, ∀n > n_{0}, |Σ_{n}(x_{0}) − f(x_{0})| ⩽ ε

Et donc on a bien lim_{n→+∞} S_{n}(x_{0}) = lim_{n→+∞} Σ_{n}(x_{0}) = f(x_{0}).