Indications

1.(d) Afin d’étudier son signe, déterminer trois constantes \(a,b,c\) telles que la dérivée se factorise sous la forme \(x \mapsto 12(x-a)(x^2 + bx + c)\). On commencera par en chercher une racine évidente.

4 (ESSEC2 2018).

1. Ne pas paniquer à cause des notations inhabituelles, \(\alpha\) et \(\xi\) ne sont que des constantes ! On suit la méthode normale étudier le signe de la dérivée. Le tout est de bien organiser ses calculs pour ne pas se perdre :

- noter $u(x)$ et $v(x)$ le numérateur et le dénominateur de la fraction et calculer séparément $u'(x)$ et $v'(x)$.

- ne développer que lorsque c'est nécessaire, essayer de tirer parti des factorisations et simplifications.

En suivant ces conseils on arrive rapidement à :
$$\boxed{\psi_\xi'(x) = \frac{(1-\xi)\alpha}{v(x)^2}}$$
L'étude de signe est aisée compte tenu des conditions sur $\alpha$ et $\xi$.

2. Cette fois \(\xi\) désigne la variable de la fonction étudiée, mais cela ne change rien à la méthode utilisée.