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Jérémie Bettinelli

École polytechnique
Laboratoire d'informatique (LIX)
91128 Palaiseau Cedex
FRANCE
E-mail : prenom « . » nom « at » normalesup « . » org
Bureau : 2023
Téléphone : (+33) (0)1 77 57 80 61
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Coloriages aléatoires

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Vous trouverez ici mon mémoire de M2, la présentation Beamer associée, ainsi que quelques vidéos que j'ai réalisées avec MATLAB au cours de l'année 2007-2008 dans ce cadre. Il s'agit de l'évolution de l'ensemble B(t) des points atteignables en un temps t à partir de l'origine dans le cas d'un coloriage aléatoire du plan. Chaque point du plan est colorié indépendament suivant une certaine loi, notée sous la forme "p = (p1, p2, ..., pr)", où les pi representent la probabilité d'être colorié d'une couleur 1, 2, ..., i.

Cliquez sur les images pour voir les vidéos. Les 4 premières sont au format avi, les autres au format gif.


Sur ces vidéos, le réseau colorié est visible et B(t) grossit en fonction du temps indiqué en haut de la vidéo. La frontière de B(t) est coloriée en noir et B(t) en blanc. Les vidéos commencent à t = -1 (i.e. on ne voit que le réseau) et s'arrètent à t = 100.

p = (1/3, 2/3) p = (1/4, 2/4, 3/4)
First-passage percolation First-passage percolation

La différence avec les vidéos précedentes est que B(t+1)\B(t) est colorié de plus en plus clairement en fonction du temps. Ainsi on garde au cours du temps l'aspect des B(t') avec t' < t, ce sont les ensembles de points dont les couleurs sont plus "foncées" qu'une couleur donnée. Les vidéos commencent à t = -1 et s'arrètent à t = 100.

p = (1/3, 2/3) p = (1/4, 2/4, 3/4)
First-passage percolation First-passage percolation

Ici, le réseau colorié n'est plus visible. Les vidéos commencent à t = 0 et s'arrètent à t = 100.

p = (1/3, 2/3) p = (1/4, 2/4, 3/4)
First-passage percolation First-passage percolation

Le réseau n'est toujours pas visible et on observe B(t)/t. B(t) est coloriée de la même façon que précedement, ce qui donne une impression de "zoom". Les vidéos commencent à t=10 (car avant B(t) est trop "diforme") et s'arrètent à l'instant indiqué.

p = (1/4, 2/4, 3/4)
t=100
p = (1/4, 2/4, 3/4)
t = 200
First-passage percolation First-passage percolation
p = (1/4, 2/4, 3/4)
t = 300
p = (1/5, 2/5, 3/5, 4/5)
t = 200
First-passage percolation First-passage percolation

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