Représentations de SL_{2}(ℝ)

Yves de Cornulier

Dans ce qui suit, 𝕂 = ℝ ou ℂ.

1 Exponentielle

Soit V un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie. On note 𝔤𝔩(V) l’algèbre des endomorphismes linéaires de V et GL(V) (resp. SL(V)) le groupe des automorphismes de V (resp. de déterminant 1). On définit l’application

exp : 𝔤𝔩(V) → GL(V)

A ↦ ∑_{n≥0} \frac{1}{n!}A^{n}

Elle vérifie notamment les propriétés :

(1) Si [A, B](= AB − BA) = 0 alors exp(A + B) = exp(A) exp(B).

(2) exp(P AP^{−1}) = P exp(A)P^{−1}

(3) ∀A ∈ 𝔤𝔩(V), (\frac{d}{dt} exp(tA))_{t=0} = A

(4) det(exp(A)) = exp(Tr(A))

(1) se vérifie élémentairement ; (2) et (3) sont immédiats ; (4) est immédiat sur les matrices diagonales, donc, grâce à (2), sur les matrices diagonalisables, puis on conclut grâce à la densité des matrices diagonalisables complexes.

Par conséquent, si on note 𝔰𝔩(V) := {A ∈ 𝔤𝔩(V), T r(A) = 0}, alors exp envoie 𝔰𝔩(V) dans SL(V). Proposition 1. Soit V un ℂ-espace vectoriel (de dimension finie), et ϕ un morphisme continu : ℝ → GL(V). Alors il existe un unique A ∈ 𝔤𝔩(V) tel que, pour tout t ∈ ℝ, ϕ(t) = exp(tA). Preuve :

L’unicité est immédiate grâce à (3).

Disons qu’un sous-espace vectoriel de V est ϕ-stable s’il est stable par ϕ(t) pour tout t ∈ ℝ. On peut supposer que V est ϕ-indécomposable, i.e. que V n’est pas somme directe de deux sous-espaces non nuls ϕ-stables et V ≠ 0.

Soit t_{0} ∈ ℝ. Alors V est somme directe des sous-espaces caractéristiques de ϕ(t_{0}), et ceux-ci sont ϕ-stables, car ϕ(t_{0}) et ϕ(t) commutent pour tout t ∈ ℝ. Par conséquent, comme on suppose que V est ϕ-indécomposable, ϕ(t_{0}) a un unique sous-espace caractéristique, pour une valeur propre qu’on appelle λ(t_{0}). Remarquons que t ↦ λ(t) est un morphisme continu de ℝ vers ℂ^{∗}. En effet, soit E_{t} = Ker(ϕ(t)−λ(t)) le sous-espace propre de ϕ(t). Comme les ϕ(t) commutent, on voit facilement par récurrence que les intersections finies des E_{t} sont non nulles. Par conséquent, l’intersection E des E_{t} est non nulle. L’action de ϕ sur E est scalaire et continue, et t ↦ λ(t) est bien un morphisme continu. Ensuite, toujours par la commutativité de la famille (ϕ(t)), on peut choisir une base telle que l’action de ϕ soit par matrices triangulaires supérieures. Donc, dans cette base, l’action de t ↦ ψ(t) = λ(t)^{−1}ϕ(t) définit un morphisme continu ℝ → U_{n}(ℂ), où U_{n}(ℂ) est le groupe des matrices n × n triangulaires supérieures unipotentes, i.e. avec des 1 sur la diagonale. Grâce au lemme qui suit, ϕ est différentiable et ∀t ∈ ℝ, ϕ(t) = exp(tdϕ(0)). □ Lemme 1.

(i) Tout morphisme continu λ de ℝ dans ℂ^{∗} s’écrit t ↦ exp(tλ) pour un unique α ∈ ℂ.

(ii) Tout morphisme continu ψ de ℝ dans U_{n}(ℂ) s’écrit t ↦ exp(tA) pour une unique matrice triangulaire supérieure stricte A.

Preuve :

Dans les deux cas l’unicité est claire en différentiant en 0, cf. (3) plus haut. Passons à l’existence.

(i) Par la continuité de λ en 0, il existe a ∈ ℝ_{+}^{∗} tel que |t| ≤ a ⇒ ℜ(λ(t)) > 0. Notons λ(a) = r. exp(iθ), avec |θ| < π/2. Alors pour tout n ∈ ℕ et m ≤ 2^{n}, λ(\frac{ma}{2^{n}}) = r^{\frac{m}{2^{n}}} exp(\frac{imθ}{2^{n}}) = exp(\frac{m}{2^{n}} (iθ + log(r))). Par densité, ∀t ∈ [0, a], λ(t) = exp(\frac{t}{a}(iθ + log(r))), puis enfin c’est vrai pour tout t ∈ ℝ. Donc α = \frac{iθ+log(r)}{a} convient.

(ii) Il faut remarquer que les séries entières sont définies sans restriction sur les matrices nilpotentes. Rappelons que, pour t ∈ ℂ, la série entière “(1 + X)^{t} ” est définie comme égale à 1 + tX + \frac{t(t−1)}{2}X^{2} +· · ·. Elle vérifie la relation (1+X)^{t}(1+X)^{t′} = (1+X)^{t+t′}. Par suite, on peut définir canoniquement U^{t} pour U ∈ U_{n}(ℂ), qui dépend polynômialement de t ∈ ℂ. Et forcément ψ(t) = ψ(1)^{t} = exp(t log(ψ(1))) pour tout t ∈ ℝ : en effet c’est vrai sur ℚ puis sur ℝ par continuité.

Lemme 2. Soit V un espace vectoriel, réel ou complexe. Le sous-groupe SL(V) de GL(V) est une sous-variété fermée dont l’espace tangent en 1 est 𝔰𝔩(V). Preuve :

D’abord, SL(V) = det^{−1}({1}) est fermé. Par translation, il suffit de montrer que SL(V) est une sous-variété au voisinage de 1, ce qui est une conséquence du fait que l’application 𝔤𝔩(V) → 𝔤𝔩(V), x ↦ x+ \frac{1}{n}(det(x)−1−Tr(x))Id_{V} envoie SL(V) sur 𝔰𝔩(V). Comme, de plus, elle a pour différentielle en 1 l’identité, on obtient bien que l’espace tangent en 1 est 𝔰𝔩(V). Lemme 3. Soient V, W deux espaces vectoriels, W réel ou complexe, et V complexe. Soit f un morphisme continu : G → GL(V), où G = SL(W) ou GL^{+}(W)(= det^{−1}(ℝ_{+}^{∗})). Alors f est C^{∞} (et même ℝ-analytique). Preuve :

Soit 𝔤 l’espace tangent de G, i.e. 𝔤 = 𝔰𝔩(W) ou 𝔤𝔩(W), et soit x ∈ 𝔤. Alors t ↦ f(exp(tx)) est un morphisme continu, il s’écrit donc t ↦ exp(tA(x)) avec A(x) ∈ 𝔤𝔩(V). Soit (u_{i})_{1≤i≤n} une base du ℝ-espace vectoriel 𝔤. Soit Φ : ℝ^{n} → G défini par Φ(t_{1}, …, t_{n}) = ∏_{i=1}^{n} exp(t_{i}u_{i}). Alors Φ est C^{∞} (et même ℝ-analytique), et étale en 0, avec Φ(0) = 1. Donc Φ admet un inverse au voisinage de 1 ∈ G. Or

f ∘ Φ(t_{1}, …, t_{n}) = f(∏_{i=1}^{n} exp(t_{i}u_{i})) = ∏_{i=1}^{n} f(exp(t_{i}u_{i})) = ∏_{i=1}^{n} exp(t_{i}A(u_{i}))

On voit que f ∘ Φ, est partout C^{∞} (et même ℝ-analytique), donc f l’est aussi au voisinage de 1, donc partout puisque f est un morphisme de groupes.

Désormais on pourra donc parler de la différentielle d’un tel morphisme continu. Lemme 4. Soit V, W deux espaces vectoriels, chacun réel ou complexe. Soit f un morphisme continu : GL^{+}(W) → GL(V), et soit df sa différentielle en 1. Alors, pour tout A, B ∈ 𝔤𝔩(W), df([A, B]) = [df(A), df(B)], i.e. df est un morphisme d’algèbres de Lie. Preuve :

Notons D = df(1) et Q = d^{2}f(1). En développant à l’ordre 2 l’égalité f((1 + h)(1 + h′)) = f(1 + h)f(1 + h′), on obtient :

D(hh′) + Q(h + h′) = Q(h) + Q(h′) + D(h)D(h′)

En échangeant h et h′ puis en soustrayant, on élimine les termes avec Q et on obtient D(hh′−h′h) = D(h)D(h′) − D(h′)D(h), qui est le résultat recherché.

Supposons désormais que W est réel (cette hypothèse ne sert qu’à simplifier que ce qui suit). Alors GL^{+}(W) est isomorphe à ℝ_{+}^{∗}×SL(W) et on en déduit que tout morphisme SL(W) → GL(V) se prolonge à GL(W). En particulier, grâce au lemme précédent, df : 𝔰𝔩(W) → 𝔤𝔩(V) est un morphisme d’algèbres de Lie.

Soit f : SL(W) → GL(V) un morphisme continu, et soit x ∈ 𝔰𝔩(W). Alors on sait qu’on peut écrire f(exp(tx)) = exp(tA(x)) avec A(x) ∈ 𝔤𝔩(V). En différentiant, on obtient A(x) = df(x) et f ∘ exp = exp ∘df. On en déduit, comme exp(𝔰𝔩(W)) contient un voisinage de 1 dans SL(W), que f ↦ df est une injection de l’ensemble des morphismes différentiables SL(W) → GL(V) vers l’ensemble des morphismes de ℝ-algèbres de Lie : 𝔰𝔩(W) → 𝔤𝔩(V).

Résumons ce qu’on vient de montrer :

Proposition 2. Soit W un ℝ-espace vectoriel, V un ℂ-espace vectoriel, G = SL(W), 𝔤 = 𝔰𝔩(W). Alors :

– Tout morphisme continu f : G → GL(V) est C^{∞} et l’application df = df(1) : 𝔰𝔩(W) → 𝔤𝔩(V) vérifie df([u, v]) = [df(u), df(v)], i.e. df est un morphisme d’algèbres de Lie.

– L’application d est une injection de l’ensemble des morphismes continus G → GL(V) vers l’ensemble des morphismes ℝ-linéaires 𝔤 → 𝔤𝔩(V) qui commutent au crochet, i.e. l’ensemble des morphismes de ℝ-algèbres de Lie : 𝔤 → 𝔤𝔩(V).

2 Représentations de SL_{2}(ℝ)

Supposons désormais que W est de dimension 2. On connaît explicitement les représentations de 𝔰𝔩(W). On peut montrer explicitement que l’application ci-dessus est surjective (donc bijective).

Soit G un groupe topologique. Ici on entendra par G-module la donnée d’un ℂ-espace vectoriel de dimension finie V et d’un morphisme continu : ρ : G → GL(V), ou, de façon équivalente, d’une action continue α : G × V → V. Un sous-module de V est un sous-espace W stable par ρ(G), un facteur direct de V est un sousmodule de V admettant un sous-module supplémentaire. Un G-module non nul V est dit irréductible (resp. indécomposable) s’il ne possède pas de sous-module (resp. de facteur direct) distinct de 0 et V.

Soit A = ℂ[X, Y] l’algèbre ℕ-graduée des polynômes à deux indéterminées. Le groupe SL_{2}(ℝ) agit sur A par g.P (X, Y) = P (g^{−1}(X, Y)). L’application P ↦ g.P est un automorphisme de ℂalgèbre graduée. L’action induit donc une action par automorphismes linéaires sur l’espace vectoriel A_{n} des polynômes homogènes de degré n, qui est de dimension n + 1. On note W_{n} le ℂ-espace-vectoriel A_{n} muni de cette action. Théorème 1. – Pour tout n ≥ 0, W_{n} est un SL_{2}(ℝ)-module irréductible, i.e. W_{n} est l’unique

sous-ℂ-espace non nul de V_{n} stable par SL_{2}(ℝ).

– Tout SL_{2}(ℝ)-module complexe de dimension finie est isomorphe à ⨁_{n∈ℕ} W_{n}^{α_{n}} pour une

unique suite (α_{n}) ∈ ℕ^{(ℕ)}. Preuve :

Considérons la base (u_{i})_{0≤i≤n} = (X^{i}Y^{n−i})_{0≤i≤n} de W_{n}. L’action est donc donnée par :

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) X^{i}Y^{n−i} = (dX − BY)^{i}(−cX + aY)^{n−i} (ad − bc = 1)

En développant à l’ordre 1 en la matrice identité, on obtient l’action dérivée de l’algèbre de Lie 𝔰𝔩_{2}(ℝ) sur W_{n} :

( \begin{matrix}a & b \\ c & −a \end{matrix} ) u_{i} = (n − 2i)u_{i} − ibu_{i−1} − (n − i)cu_{i+1}

en convenant u_{−1} = u_{n+1} = 0. Dans la base (v_{i}) = ((−1)^{i} ( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} ) u_{i}) on reconnaît la représentation

irréductible V_{n} de 𝔰𝔩_{2}(ℝ). En particulier, l’action de SL_{2}(ℝ) est irréductible, car tout sous-espace stable est stable pour l’action dérivée.

Prouvons maintenant la deuxième proposition. Soit ϕ : SL_{2}(ℝ) → GL(V) un morphisme continu, V étant un ℂ-espace vectoriel. Soit u = dϕ. Alors u est une représentation complexe de 𝔰𝔩_{2}(ℝ), qui se prolonge donc de façon unique en une représentation complexe de 𝔰𝔩_{2}(ℂ). Donc il existe (paragraphe suivant) des sous-espaces F_{j} dont V est la somme directe et tels que l’action de 𝔰𝔩_{2}(ℝ) sur F_{j} soit irréductible. Prenons une base (v_{ij}) de F_{j} telle que 𝔰𝔩_{2}(ℝ) agit par des matrices comme dans (*) (voir plus loin). En identifiant v_{ij} à (−1)^{i}X^{j}Y^{n_{j}−i}, on obtient un morphisme ψ : SL_{2}(ℝ) → GL(V) tel que dψ = dϕ, tel que ψ stabilise F_{j} et tel que l’action de SL_{2}(ℝ) par ψ sur F_{j} soit isomorphe à celle sur V_{n_{j}}. Par l’injectivité démontrée plus haut, ψ = ϕ et ϕ fait bien de V une somme directe de modules irréductibles. Terminons par l’unicité. Supposons que V soit isomorphe à ⨁_{n∈ℕ} W_{n}^{α_{n}}. Alors, comme 𝔰𝔩_{2}(ℝ)- module, V est isomorphe à ⨁_{n∈ℕ} V_{n}^{α_{n}}. La multiplicité μ_{i} de la valeur propre i pour H est donc ∑_{j≥0} α_{i+2j}. Donc α_{i} = μ_{i} − μ_{i+2} est uniquement déterminé.

3 Représentations de 𝔰𝔩_{2}(k)

On suppose ici que k est un corps de caractéristique 0. On renvoie à l’appendice pour les notions de base sur les algèbres de Lie.

L’algèbre de Lie 𝔰𝔩_{2}(k) possède comme base (H, X, Y), avec

H = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) X = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) Y = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

vérifiant les relations

[H, X] = 2X [H, Y] = −2Y [X, Y] = H.

Dans ce qui suit, on considérera des 𝔰𝔩_{2}(k)-modules V (cf. l’appendice). On y verra X, Y et H comme opérateurs linéaires sur V, ce qui permettra de parler des produits XY, etc. Attention, ce produit n’a a priori rien à voir avec le produit dans 𝔤𝔩_{2}(k). Théorème 2. L’algèbre de Lie 𝔰𝔩_{2}(k) est semi-simple, i.e. toute représentation est somme de représentations irréductibles.

Supposons d’abord k algébriquement clos. D’abord classons les représentations irréductibles. Fixons les notations : notons 𝔤 = 𝔰𝔩_{2}(ℂ) et soit V un 𝔤-module irréductible. Lemme 5. Il existe dans ker(X) un vecteur propre de H.

En effet supposons le contraire : on suppose que X n’annule aucun vecteur propre de H. Comme k est algébriquement clos et V ≠ 0, il existe v un vecteur propre de H pour une valeur propre λ. Alors, par hypothèse, Xv est non nul, et on voit qu’il est vecteur propre de H pour la valeur propre λ + 2. En itérant on voit que λ + 2n est valeur propre de H pour tout n, et donc, comme car(k) = 0, H a une infinité de valeurs propres : c’est absurde car V est de dimension finie. □

Il existe donc u ≠ 0 et λ ∈ k tels que Hu = λu et Xu = 0. En raisonnant de façon analogue, il existe m minimal tel que Y^{m}u = 0. Lemme 6. La famille (u, Y u, ..., Y^{m−1}u) est une base de V.

Cette famille est libre car, pour l < m, Y^{l}u est vecteur propre de H pour la valeur propre λ−2l. Grâce à la relation [X, Y^{n}] = nY^{n−1}(H − (n − 1)), qu’on obtient directement par récurrence, on voit immédiatement que l’espace vectoriel engendré par les Y^{i}u, i ∈ ℕ est un sous-𝔤-module non nul de V. Comme V est irréductible, c’est donc une base de V. □

On en déduit notamment que X et Y sont nilpotents de rang dim(V) − 1 = m − 1. Enfin en remarquant que Tr(H) = Tr(XY − Y X) = 0 (et en utilisant que k est de caractéristique nulle), on obtient que λ = m−1, donc que les valeurs propres de H sont n, n−2, n−4, ..., −n+2, −n, en posant n = m − 1.

Posons enfin e_{i} = \frac{1}{i!}Y^{i}v. Alors (e_{0}, ..., e_{n}) est une base de V dans laquelle on a (*) :

H = ( \begin{matrix}n & & & (0) \\ & n − 2 \\ & & ... \\ (0) & & & −n \end{matrix} ) X = ( \begin{matrix}0 & n & & & (0) \\ & 0 & n − 1 \\ & & & ... \\ & & & 0 & 1 \\ (0) & & & & 0 \end{matrix} ) Y = ( \begin{matrix}0 & & & & (0) \\ 1 & 0 \\ & 2 \\ & & ... & 0 \\ (0) & & & n & 0 \end{matrix} )

Réciproquement, il est immédiat que, muni de ces opérateurs, k^{n+1} est un 𝔰𝔩_{2}(k)-module irréductible, qu’on notera V_{n}. On a donc montré : Proposition 3. Les 𝔰𝔩_{2}(k)-modules irréductibles sont les V_{n}, n ≥ 0.

Plus précisément, on a montré le lemme suivant qui servira par la suite : Lemme 7. Soit V un 𝔰𝔩_{2}(k)-module, et soit v ∈ V non nul tel que Xv = 0 et Hv = λv. Alors λ est un entier n et V le module engendré par v est isomorphe à V_{n}.

Montrons maintenant la semi-simplicité. Il faut montrer que tout module est somme directe de modules irréductibles. Cela se montre par récurrence sur la dimension, en utiliant le lemme : Lemme 8. Soit (m, n) ∈ ℕ^{2}. Toute suite exacte courte de 𝔰𝔩_{2}(k)-modules 0 → V_{n} → V → V_{m} → 0 est scindée.

Preuve :

Notons V′ l’image de V_{n} dans V, et, pour λ ∈ k, E_{λ} (resp. N_{λ}) le sous-espace propre (resp. caractéristique) de H dans V, pour la valeur propre λ. Soit l = sup(m, n). Remarquons que les valeurs propres de H dans V sont exactement {l, l − 2, ..., −l} : cela se déduit du fait général que si u est un endomorphisme d’un espace vectoriel E, et F un sous-espace stable, alors Spec(u, E) = Spec(u, F) ∪ Spec(u, E/F).

Si m > n, soit v un vecteur propre de H dans V, pour la valeur propre m. Alors, comme m + 2 n’est pas valeur propre de H, Xv = 0, et on déduit du lemme précédent que le 𝔰𝔩_{2}(k)-sous-module engendré par v est isomorphe à V_{m}. Par irréductibilité, son intersection avec V′ est nulle, et, son image dans le module irréductible V/V′ étant non nulle, on a bien une section.

Si m ≤ n, remarquons que N_{λ} est de dimension ≤ 2 si |λ| ≥ m, et ≤ 1 si |λ| > m. Comme V est la somme directe des N_{λ}, ce sont des égalités.

Supposons que m < n. Soit alors v ∈ N_{m}\V′. Comme N_{m} est de dimension 2, on a (H −m)^{2}v = 0, dont on déduit que Xv est dans N_{m+2}. Mais celui-ci est de dimension 1 et est inclus dans V′. Donc HXv = (m+2)Xv, i.e. Xv ∈ E_{m+2}, d’où on déduit X(H −m)v = 0. Donc, si (H −m)v ∈ V′, alors (H − m)v est nul, car sinon il serait à la fois valeur propre pour m et n (parce que dans V_{n}, ker(X) = ker(H − n)). Dans ce cas v est vecteur propre pour H. Si Xv = 0, on prend le module engendré par v et c’est terminé grâce au lemme précédent. Sinon, Xv est valeur propre pour m+2, donc est dans V′. Soit w ∈ E_{m} ∩V′ m. Alors il existe un scalaire μ tel que Xv = μXw. Donc, quitte à remplacer v par v − μw on peut supposer Xv = 0 et ce cas est réglé. Enfin, si (H − m)v ∉ V′, on prend le module engendré par (H − m)v et, grâce au lemme, il forme une section.

Maintenant supposons que m = n. Supposons qu’il existe un vecteur propre pour H qui n’est pas dans V′. Quitte à le translater par X on peut supposer que c’est pour la valeur propre n. Alors on peut à nouveau conclure grâce au lemme précédent.

Supposons donc que les vecteurs propres de H dans V soient tous dans V′. Soit (e_{0}, ..., e_{n}) la base de V′ définie plus haut, et soit v ∉ V′ dans le sous-espace caractéristique de n. On a (H − n)(H − n)v = 0, donc il existe λ ≠ 0 tel que λ(H − n)v = e_{0}. Soit alors f_{0} = λv et f_{i} = λ_{i}Y^{i}f_{0}, où les λ_{i} sont choisis de telle façon que (H − n + 2i)f_{i} = e_{i}. Dans la base (e_{0}, f_{0}, e_{1}, f_{1}, ...),

X est une matrice subdiagonale par blocs 2 × 2, Y est sous-diagonale par blocs 2 × 2, et H est diagonale par blocs 2 × 2 de la forme :

( \begin{matrix}i & 1 \\ 0 & i \end{matrix} ) i ∈ \{n, n − 2, ..., −n\}

et X et Y s’écrivent par blocs 2 × 2 (A_{ij})_{0≤i,j≤n}, où on peut écrire

A_{ij} = ( \begin{matrix}a_{ij} & b_{ij} \\ 0 & a_{ij} \end{matrix} ) a_{ij}, b_{ij} ∈ ℂ

Maintenant, en écrivant la relation [X, Y] = H par blocs, étant donné que tous les blocs commutent entre eux, on voit que la somme des blocs diagonaux de H est nulle, et on a une contradiction.

On a donc montré, pour k algébriquement clos de caractéristique zéro, la semi-simplicité de 𝔰𝔩_{2}(k). Soit k est un corps de caractéristique zéro quelconque, et soit V un 𝔰𝔩_{2}(k)-module irréductible, de dimension n. En utilisant le plongement 𝔤𝔩_{n}(k) ⊂ 𝔤𝔩_{n}(l), où ℓ est une clôture algébrique de k, et en utilisant la classification des 𝔰𝔩_{2}(ℓ)-modules, on voit que H est conjuguée à une matrice D diagonale à coefficients entiers par une matrice de GL_{n}(l). Par conséquent, comme k est infini, H et D sont aussi conjugués par une matrice de GL_{n}(k). Il existe donc un vecteur propre pour H, et ensuite il suffit de tout refaire comme dans la preuve dans le cas algébriquement clos.

4 Appendice : algèbres de Lie

Soit k un corps de caractéristique 0. Une k-algèbre de Lie est un k-espace vectoriel A muni d’une loi k-bilinéaire [· , ·] : A × A → A, avec de plus :

– [· , ·] est antisymétrique : ∀x, y ∈ A, [x, y] + [y, x] = 0.

– [· , ·] satisfait à l’identité de Jacobi : ∀x, y, z ∈ A, [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.

On a des notions évidentes de morphisme entre algèbres de Lie, de sous-algèbre de Lie, d’idéal d’une algèbre de Lie. Exemple 1. Soit V un k-espace vectoriel de dimension finie. Alors 𝔤𝔩(V) est une algèbre de Lie pour la loi [A, B] := AB − BA, et 𝔰𝔩(V) en est une sous-algèbre de Lie (et même un idéal).

Soit k ⊂ ℓ deux corps (ici on aura k = ℝ et ℓ = ℝ ou ℂ). Une ℓ-représentation d’une k-algèbre de Lie A est la donnée d’un ℓ-espace vectoriel V et d’un morphisme de k-algèbres de Lie : A → 𝔤𝔩(V), ou de façon équivalente, d’une action k-ℓ-bilinéaire : A × V → V satisfaisant à :

∀x, y ∈ A, v ∈ V, [x, y].v = x(y.v) − y.(x.v)

On appelle alors V un A-module sur ℓ. Un sous-module est un sous-espace vectoriel A-stable. Un module est dit irréductible s’il est non nul et n’admet que 0 et lui-même comme sous-modules, il est dit totalement réductible s’il est isomorphe à une somme directe de modules irréductibles.